Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
h) 16 x^2-y^2-32 x-6 y=57

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica dada por
16 x^{2} - y^{2} - 32 x - 6 y = 57,
indicando centros, vértices, focos e assíntotas. O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma hipérbole e usar o método de completar quadrados para chegar à sua forma padrão.

Passo 2

Primeiro, agrupo termos em x e em y e completo quadrados. Temos:
16x^2 - 32x - y^2 - 6y = 57
Coloco fator em 16 no grupo de x e fator -1 no grupo de y:
16l(x^2-2xr) - l(y^2+6yr) = 57
Agora completo quadrados em cada grupo:
x^2-2x = (x-1)^2 - 1,
y^2+6y = (y+3)^2 - 9
Substituindo de volta:
16l((x-1)^2-1r) - l((y+3)^2-9r) = 57
16(x-1)^2 - 16 - (y+3)^2 + 9 = 57
16(x-1)^2 - (y+3)^2 = 64
Dividindo por 64, obtemos a forma padrão:
(x-1)^24 - (y+3)^264 = 1

Passo 3

Da forma padrão
(x-1)^2a^2 - (y+3)^2b^2 = 1
identificamos:
a^2 = 4, b^2 = 64, a = 2, b = 8,
centro em (1,-3) e abertura horizontal (porque o termo positivo é de x). Os vértices ficam em
(1pm a,, -3) = (3,-3) e (-1,-3)

Passo 4

Para achar os focos usamos
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 64 = 68, c = raiz68 = 2raiz17
Logo, os focos são
(1pm raiz68,,-3)
As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por
y+3 = pm ba(x-1) = pm 4(x-1)
Em forma explícita:
y = 4x - 7, y = -4x + 1

Passo 5

Agora, para esboçar: marque o centro em (1,-3), desenhe as retas-assíntotas cruzando nesse ponto com inclinações ±4. Em seguida faça dois ramos de hipérbole abrindo para esquerda e direita, passando pelos vértices (3,-3) e (-1,-3) e aproximando-se das assíntotas conforme se afastam do centro.

Resposta

A hipérbole é dada por
(x-1)^24 - (y+3)^264 = 1
Centro: (1,-3)
Vértices: (3,-3) e (-1,-3)
Focos: (1pm raiz68,,-3)
Assíntotas: y = 4x - 7 e y = -4x + 1

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