Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica dada por
16 x^{2} - y^{2} - 32 x - 6 y = 57,
indicando centros, vértices, focos e assíntotas. O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma hipérbole e usar o método de completar quadrados para chegar à sua forma padrão.
16 x^{2} - y^{2} - 32 x - 6 y = 57,
indicando centros, vértices, focos e assíntotas. O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma hipérbole e usar o método de completar quadrados para chegar à sua forma padrão.
Passo 2
Primeiro, agrupo termos em x e em y e completo quadrados. Temos:
Coloco fator em 16 no grupo de x e fator -1 no grupo de y:
Agora completo quadrados em cada grupo:
Substituindo de volta:
Dividindo por 64, obtemos a forma padrão:
Passo 3
Da forma padrão
identificamos:
centro em (1,-3) e abertura horizontal (porque o termo positivo é de x). Os vértices ficam em
Passo 4
Para achar os focos usamos
Logo, os focos são
As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por
Em forma explícita:
Passo 5
Agora, para esboçar: marque o centro em (1,-3), desenhe as retas-assíntotas cruzando nesse ponto com inclinações ±4. Em seguida faça dois ramos de hipérbole abrindo para esquerda e direita, passando pelos vértices (3,-3) e (-1,-3) e aproximando-se das assíntotas conforme se afastam do centro.
Resposta
A hipérbole é dada por
Centro: (1,-3)
Vértices: (3,-3) e (-1,-3)
Focos:
Assíntotas: