Encontre uma equação para a elipse que satisfaça as condições dadas.
b) Focos (-1,1) e (-1,3); eixo menor de comprimento 4.

Passo 1

Na questão temos uma elipse com focos em (-1,1) e (-1,3) e eixo menor de comprimento 4. O conteúdo é geometria analítica de elipses, vamos usar as definições de centro, distância focal c, semieixo menor b e semieixo maior a para chegar à equação padrão da elipse.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculando a média das coordenadas obtemos (-1,2). A distância entre os focos é 2c = raiz(-1 - (-1))^2 + (3-1)^2 = 2, logo c = 1.

Passo 3

O semieixo menor b é metade do eixo menor, isto é b = 42 = 2. Em uma elipse, relacionamos os semieixos por a^2 = b^2 + c^2. Substituindo b = 2 e c = 1 temos a^2 = 4 + 1 = 5.

Passo 4

Como os focos estão alinhados verticalmente, o semieixo maior a é vertical. A equação padrão da elipse é
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Substituindo h = -1, k = 2, b^2 = 4 e a^2 = 5, chega-se à equação desejada.

Resposta

(x+1)^24 + (y-2)^25 = 1

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