Considere as funções
Mostre que
e
são primitivas da função
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e define
A tarefa pedida é: mostrar que
e
são primitivas (ou antiderivadas) da função
; ou seja, verificar se
e
. Vou calcular as derivadas de
e de
passo a passo e comparar com
.
Passo 2
O que significa “ser primitiva”? Uma função
é primitiva de
se, para todo
do domínio, a derivada de
é igual a
:
Portanto o procedimento é calcular
e
e ver se cada uma é igual a
.
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vou usar:
Também vou usar as identidades trigonométricas:
Sempre que eu usar uma dessas fórmulas eu explicito o que cada peça significa: em (b)
e
são funções de
; em (c)
é a função dentro do seno e
é sua derivada.
Passo 4
Derivada de
.
Escrevo . Pela regra da soma,
Escrevo
A derivada de
é
:
Agora aplico a regra do produto em
e
:
Isso dá
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Somando com a derivada de
,
Portanto
, ou seja,
é de fato uma primitiva de
.
Passo 5
Derivada de
.
Escrevo . Pela regra da soma (subtração é soma de sinal trocado),
Escrevo
A derivada de
é
:
Agora uso a regra da cadeia para
: se
então
. Assim
Como há um fator
multiplicando
,
Portanto, ao subtrair,
Passo 6
Comparando os resultados:
- Para
achei . Logo é primitiva de . - Para
achei , que não é igual a . Portanto não é primitiva de ; em vez disso é primitiva da função .
Observação útil: as duas funções
e
diferem apenas pelo sinal do termo trigonométrico, pois
. Assim
e
, o que explica por que suas derivadas são
.