Considere as funções
F_{1}(x)=x+\sin x \cos x \quad \text { e } \quad F_{2}(x)=x-\frac{\sin (2 x)}{2} .
Mostre que F_{1} e F_{2} são primitivas da função f(x)=1+\cos (2 x).

Passo 1

O enunciado dá as funções
F_{1}(x)=x+\sin x\cos x
F_{2}(x)=x-\frac{\sin(2x)}{2}
e define
f(x)=1+\cos(2x).
A tarefa pedida é: mostrar que F_{1} e F_{2} são primitivas (ou antiderivadas) da função f; ou seja, verificar se (F_{1})'(x)=f(x) e (F_{2})'(x)=f(x). Vou calcular as derivadas de F_{1} e de F_{2} passo a passo e comparar com f(x).

Passo 2

O que significa “ser primitiva”? Uma função F é primitiva de f se, para todo x do domínio, a derivada de F é igual a f:
F'(x)=f(x).
Portanto o procedimento é calcular (F_{1})'(x) e (F_{2})'(x) e ver se cada uma é igual a 1+\cos(2x).

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vou usar:
\text{(a) }(u+v)'=u'+v'
\text{(b) }(u\cdot v)'=u'v+uv' \quad\text{(regra do produto)}
\text{\text{(c)} }(\sin g(x))'= \cos(g(x))\cdot g'(x) \quad\text{(regra da cadeia)}
Também vou usar as identidades trigonométricas:
\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}
\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos(2x).
Sempre que eu usar uma dessas fórmulas eu explicito o que cada peça significa: em (b) u e v são funções de x; em (c) g(x) é a função dentro do seno e g'(x) é sua derivada.

Passo 4

Derivada de F_{1}.
Escrevo F_{1}(x)=x+(\sin x)(\cos x). Pela regra da soma,
(F_{1})'(x)=\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}\big(\sin x\cos x\big).
A derivada de x é 1:
\frac{d}{dx}x=1.
Agora aplico a regra do produto em u=\sin x e v=\cos x:
\frac{d}{dx}\big(\sin x\cos x\big)=u'v+uv'=(\cos x)(\cos x)+(\sin x)(- \sin x).
Isso dá
\cos^{2}x-\sin^{2}x.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos(2x), obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin x\cos x\big)=\cos(2x).
Somando com a derivada de x,
(F_{1})'(x)=1+\cos(2x).
Portanto (F_{1})'(x)=f(x), ou seja, F_{1} é de fato uma primitiva de f.

Passo 5

Derivada de F_{2}.
Escrevo F_{2}(x)=x-\dfrac{\sin(2x)}{2}. Pela regra da soma (subtração é soma de sinal trocado),
(F_{2})'(x)=\frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right).
A derivada de x é 1:
\frac{d}{dx}x=1.
Agora uso a regra da cadeia para \sin(2x): se g(x)=2x então (\sin g(x))'=\cos(g(x))\cdot g'(x). Assim
\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).
Como há um fator 1/2 multiplicando \sin(2x),
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x).
Portanto, ao subtrair,
(F_{2})'(x)=1-\cos(2x).

Passo 6

Comparando os resultados:
  • Para F_{1} achei (F_{1})'(x)=1+\cos(2x)=f(x). Logo F_{1} é primitiva de f.
  • Para F_{2} achei (F_{2})'(x)=1-\cos(2x), que não é igual a f(x)=1+\cos(2x). Portanto F_{2} não é primitiva de f; em vez disso F_{2} é primitiva da função x\mapsto 1-\cos(2x).
Observação útil: as duas funções F_{1} e F_{2} diferem apenas pelo sinal do termo trigonométrico, pois \sin x\cos x=\dfrac{\sin(2x)}{2}. Assim F_{1}(x)=x+\dfrac{\sin(2x)}{2} e F_{2}(x)=x-\dfrac{\sin(2x)}{2}, o que explica por que suas derivadas são 1\pm\cos(2x).

Resposta

F_{1} é primitiva de f porque (F_{1})'(x)=1+\cos(2x).\n F_{2} não é primitiva de f; (F_{2})'(x)=1-\cos(2x), então F_{2} é primitiva de 1-\cos(2x).

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