Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(2 x^{2}-3\right)^{2}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o quadrado do polinômio 2x^{2}-3. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\left(2x^{2}-3\right)^{2}.

Passo 2

Escolha do método: como o integrando é um polinômio (o quadrado de um polinômio), o caminho mais direto é expandir o quadrado e depois integrar termo a termo. Outra possibilidade seria tentar uma substituição u=2x^{2}-3, mas aí du=4x\,dx e não aparece um fator x no integrando, então essa substituição não simplifica. Portanto vamos expandir primeiro.

Passo 3

Expansão do quadrado usando a fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Aqui a=2x^{2} e b=3. Então
\left(2x^{2}-3\right)^{2}=(2x^{2})^{2}-2\cdot(2x^{2})\cdot 3+3^{2}.
Calculando cada termo:
(2x^{2})^{2}=4x^{4},\qquad -2\cdot(2x^{2})\cdot 3=-12x^{2},\qquad 3^{2}=9.
Portanto
\left(2x^{2}-3\right)^{2}=4x^{4}-12x^{2}+9.

Passo 4

Integramos termo a termo. Vou lembrar duas regras usadas:
  • Linearidade: \displaystyle \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
  • Regra da potência (para n\neq-1): \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int\left(4x^{4}-12x^{2}+9\right)\,dx = \int 4x^{4}\,dx - \int 12x^{2}\,dx + \int 9\,dx.
Agora cada integral:
\int 4x^{4}\,dx = 4\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{4}{5}x^{5},
\int 12x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},
\int 9\,dx = 9x.
Atente que o termo do meio veio com sinal negativo, então fica -4x^{3}.

Passo 5

Somando as partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva
F(x)=\frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C.
Verificação rápida (opcional): derivando F(x) pelo regra da potência obtém-se
F'(x)=4x^{4}-12x^{2}+9=\left(2x^{2}-3\right)^{2},
que é o integrando, logo a primitiva está correta. Força aí — você já consegue fazer essas integrais de polinômios numa boa!

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C

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