Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o quadrado do polinômio
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que
.
Passo 2
Escolha do método: como o integrando é um polinômio (o quadrado de um polinômio), o caminho mais direto é expandir o quadrado e depois integrar termo a termo. Outra possibilidade seria tentar uma substituição
, mas aí
e não aparece um fator
no integrando, então essa substituição não simplifica. Portanto vamos expandir primeiro.
Passo 3
Expansão do quadrado usando a fórmula
. Aqui
e
. Então
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 4
Integramos termo a termo. Vou lembrar duas regras usadas:
- Linearidade:
. - Regra da potência (para
): .
Aplicando:
Agora cada integral:
Atente que o termo do meio veio com sinal negativo, então fica
.
Passo 5
Somando as partes e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva
Verificação rápida (opcional): derivando
pelo regra da potência obtém-se
que é o integrando, logo a primitiva está correta. Força aí — você já consegue fazer essas integrais de polinômios numa boa!