Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int \frac{d x}{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{x^{5}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{x^{5}}.
  • Temos que fornecer uma primitiva (família de funções) mais constante de integração C.
  • Atenção: x\neq 0 (a função não está definida em x=0).

Passo 2

Reescrevo a integranda usando potências com expoente negativo, que facilita aplicar a regra de potência:
\frac{1}{x^{5}} = x^{-5}.

Passo 3

Aplico a regra de potência para integrais: para um expoente \,n\neq -1, vale
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde:
  • x é a variável de integração;
  • n é um número real diferente de -1;
  • C é a constante de integração.
    Observação didática rápida: essa fórmula vem de inverter a regra da derivada \dfrac{d}{dx} x^{n+1} = (n+1)x^{n}.

Passo 4

No nosso caso \,n=-5. Substituindo na fórmula:
\int x^{-5}\,dx = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{-4}}{-4} + C.

Passo 5

Simplifico a expressão escrita de maneira mais usual como fração:
\frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4}x^{-4} + C = -\frac{1}{4x^{4}} + C.

Passo 6

Verificação (boa prática): derivando a primitiva obtida deve voltar a integranda.
Calculo a derivada de -\dfrac{1}{4}x^{-4}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}x^{-4}\right) = -\frac{1}{4}\cdot(-4)x^{-5} = x^{-5} = \frac{1}{x^{5}}.
Confere com a integranda original, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{4x^{4}}+C

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