Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações fornecidas:
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma integral indefinida, ou seja, queremos uma primitiva (antiderivada) da função e devemos adicionar a constante de integração
.
Passo 2
Regra útil: a integral é linear. Isso significa que podemos separar a integral da soma em soma das integrais e puxar constantes para fora. Em fórmulas:
onde
é uma constante e
são funções. Vou aplicar isso para dividir a integral original termo a termo.
Passo 3
Regra principal que vamos usar: a regra da potência para integrais. Para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração. Explicando: ao integrar aumentamos o expoente em
(ou seja, passamos de
para
) e dividimos pelo novo expoente
. Um caso particular: se
(ou seja, integrar
), a fórmula dá
pois
.
Passo 4
Aplicando a linearidade (Passo 2) à integral dada:
Agora aplicamos a regra da potência (Passo 3) em cada termo:
- Para
, temos , então
- Para
, note que e , então
- Para
, usamos o caso e obtemos
Passo 5
Somando as primitivas de cada termo e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 6
Verificação rápida (importante para a prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando. Diferenciando termo a termo:
-
, -
, -
, -
.
Somando:, que é exatamente o integrando original. Tudo conferido.