Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(x^{2}+x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+x+1\right)\,dx.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é \;x^{2}+x+1\;.
  • Trata-se de uma integral indefinida, ou seja, queremos uma primitiva (antiderivada) da função e devemos adicionar a constante de integração \;C\;.

Passo 2

Regra útil: a integral é linear. Isso significa que podemos separar a integral da soma em soma das integrais e puxar constantes para fora. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é uma constante e f, g são funções. Vou aplicar isso para dividir a integral original termo a termo.

Passo 3

Regra principal que vamos usar: a regra da potência para integrais. Para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Explicando: ao integrar aumentamos o expoente em 1 (ou seja, passamos de n para n+1) e dividimos pelo novo expoente n+1. Um caso particular: se n=0 (ou seja, integrar \;1\;), a fórmula dá
\int 1\,dx = x + C,
pois \frac{x^{0+1}}{0+1}=\frac{x^1}{1}=x.

Passo 4

Aplicando a linearidade (Passo 2) à integral dada:
\int\left(x^{2}+x+1\right)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int x\,dx + \int 1\,dx.
Agora aplicamos a regra da potência (Passo 3) em cada termo:
  • Para \int x^{2}\,dx, temos n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
  • Para \int x\,dx, note que x = x^{1} e n=1, então
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  • Para \int 1\,dx, usamos o caso n=0 e obtemos
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Somando as primitivas de cada termo e adicionando a constante de integração \;C\;, obtemos a primitiva geral:
\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+C.

Passo 6

Verificação rápida (importante para a prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando. Diferenciando termo a termo:
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right) = x^{2},
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right) = x,
  • \displaystyle\frac{d}{dx}(x) = 1,
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
    Somando: x^{2}+x+1, que é exatamente o integrando original. Tudo conferido.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+C

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