Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{\sin \left(\frac{x}{3}\right)}{2+\cos \left(\frac{x}{3}\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{2+\cos\left(\frac{x}{3}\right)}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é x.
  • O numerador é \sin\!\left(\frac{x}{3}\right) e o denominador é 2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right).
  • Note que \cos toma valores em [-1,1], portanto 2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) varia no intervalo [1,3] (ou seja, é sempre positivo). Vou usar isso mais adiante para tratar o valor absoluto no logaritmo, mas por enquanto só estou listando as informações.

Passo 2

Observação para escolher o procedimento: o numerador \sin\!\left(\frac{x}{3}\right) parece ligado à derivada de \cos\!\left(\frac{x}{3}\right), porque, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{1}{3}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right).
Isto sugere a substituição u=\cos\!\left(\frac{x}{3}\right), pois assim a diferencial du fica proporcional a \sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx, permitindo simplificar a integral.

Passo 3

Faço a substituição e calculemos du:
u = \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)
du = -\frac{1}{3}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Isolando \sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx temos
\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = -3\,du.
Aqui expliquei: derivei \cos(x/3) pelo x usando a regra da cadeia (derivada de \cos é -\sin e depois multiplica pelo derivado de x/3, que é 1/3) e depois resolvi para \sin(x/3)\,dx.

Passo 4

Substituo na integral original:
\int \frac{\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{2+\cos\left(\frac{x}{3}\right)}\,dx = \int \frac{-3\,du}{2+u} = -3\int \frac{du}{u+2}.
Expliquei: troquei \cos(x/3) por u no denominador e \sin(x/3)\,dx por -3\,du.

Passo 5

Agora integro a expressão em u. A fórmula básica que usamos aqui é
\int \frac{du}{u+a} = \ln|u+a| + C,
porque \frac{d}{du}\ln|u+a| = \frac{1}{u+a}. Aplicando isso:
-3\int \frac{du}{u+2} = -3\ln|u+2| + C.
Como pequeno exemplo extra: \int \frac{du}{u+5} = \ln|u+5|+C. Mesma ideia.

Passo 6

Volto à variável original fazendo u=\cos\!\left(\frac{x}{3}\right):
-3\ln\bigl|\,\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)+2\,\bigr| + C.
Agora lembro do intervalo que anotei no Passo 1: \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)+2\in[1,3], isto é, sempre positivo. Logo o valor absoluto não é necessário aqui e posso escrever de forma mais simples:
-3\ln\!\bigl(2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): diferenciar
F(x) = -3\ln\!\bigl(2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\bigr)
pela regra da cadeia dá
F'(x) = -3\cdot\frac{1}{2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)}\cdot\left(-\frac{1}{3}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\right) = \frac{\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)}{2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)},
que é exatamente o integrando. Portanto está correto. Força aí — deu certo!

Resposta

-3\ln\!\bigl(2+\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\bigr)+C

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