Primeira Questão (0,5pt): Enuncie as três formulações do Teorema de Green e defina os objetos matemáticos utilizados em suas expressões.
Passo 1
O que o enunciado pede: enunciar as três formulações do Teorema de Green e definir os objetos matemáticos usados nas expressões.
Informações / hipóteses que vamos assumir (essas são as condições padrão necessárias para aplicar o Teorema de Green):
Informações / hipóteses que vamos assumir (essas são as condições padrão necessárias para aplicar o Teorema de Green):
-
é uma região limitada do plano cujo bordo é uma curva(s) fechada(s) simples e de classe peça‑a‑peça suave. - A orientação de
é a orientação positiva (contrária ao sentido horário, isto é, no sentido anti‑horário), também chamada de orientação que deixa à esquerda ao percorrer . -
e são funções com derivadas parciais contínuas num aberto que contém .
Nada mais foi dado no enunciado, então adotamos essas hipóteses padrão para escrever e explicar as três formulações.
Passo 2
Definições básicas e interpretação intuitiva (antes de enunciar as fórmulas):
- O bordo
é a união de curvas fechadas suaves que delimitam . Uma parametrização típica é , , com . - Integral de linha do tipo
: é a integral ao longo de da 1‑forma . Se então
- Integral dupla
: soma (no sentido de área) do valor sobre os pontos de . A notação significa o elemento de área (pequeno retângulo de lados e ). - Derivadas parciais
, existem e são contínuas no interior de .
Passo 3
Primeira formulação — forma de circulação (a forma clássica mais conhecida):
Enunciado:
Enunciado:
Interpretação física e intuitiva: a integral de linha no lado esquerdo mede a circulação total do campo
ao longo do contorno
; o integrando do lado direito,
, é a componente “rotacional” (chamada às vezes de curl escalar em 2D) que mede a rotação local do campo em cada ponto. O Teorema diz: soma das rotações locais (integrada na área) = circulação global ao redor do contorno.
Explicação didática de porque faz sentido (ideia da prova): divida em retângulos pequenos. Em cada retângulo a integral de linha ao redor é aproximadamente a integral do curl vezes a área do retângulo (pelo Teorema Fundamental do Cálculo aplicado em direções
e
). Ao somar retângulos, as integrais nas arestas internas cancelam (porque são percorridas em sentidos opostos) e sobra apenas o contorno externo, produzindo a igualdade acima.
Explicação didática de porque faz sentido (ideia da prova): divida
Passo 4
Definição e interpretação do termo
:
-
é a derivada parcial de em relação a : medida de como a componente do campo varia quando nos deslocamos na direção . -
é a derivada parcial de em relação a . - A diferença
é o “curl escalar” em 2D; se for positiva localmente significa que o campo tende a girar no sentido anti‑horário naquele ponto; se for negativa, no sentido horário.
Passo 5
Segunda formulação — forma de fluxo (ou forma divergente / teorema da divergência no plano):
Enunciado:
Enunciado:
O que isso significa: o lado esquerdo é o fluxo do campo
através do contorno
com a normal exterior, escrito em termos de
. O lado direito é a integral dupla da divergência
. Interpretação: a divergência local mede a “taxa de fonte” (quanto o campo está saindo ou entrando) em cada ponto; integrando sobre
obtemos o fluxo total que sai por
.
Relação com a primeira formulação: se você rotacionar o campo em
(por exemplo definindo
), e aplicar a formulação de circulação à
, obtém a fórmula de fluxo para
. Assim as duas versões são equivalentes via rotação de campo.
Relação com a primeira formulação: se você rotacionar o campo
Passo 6
Definição da expressão
como fluxo:
- Para uma parametrização
de com orientação positiva, o elemento de comprimento dirigido é . O vetor normal exterior vezes pode ser escrito como . - Então o fluxo
torna‑se
e o Teorema iguala isso à integral da divergência sobre
.
Passo 7
Terceira formulação — forma das formas diferenciais / Teorema de Stokes em 2D (enquadramento moderno):
Enunciado (forma elegante e compacta usando formas diferenciais):
Enunciado (forma elegante e compacta usando formas diferenciais):
onde
é a 1‑forma
e
é a 2‑forma exterior
Explicação didática e interpretação:
- Uma 1‑forma
é um objeto que ao ser integrado ao longo de uma curva produz a integral de linha . - O operador exterior
calcula algo como a “variação” da 1‑forma; em coordenadas planas isso dá exatamente o escalar multiplicado pelo elemento de área . - Essa formulação é um caso particular do Teorema de Stokes em variedades: a integral da derivada exterior
sobre uma região é igual à integral de sobre o bordo.
Passo 8
Breve exemplo ilustrativo (para fixar a ideia):
Considere . Então
e
. Calculamos o curl escalar:
Considere
Pelo Teorema de Green (forma de circulação), para
sendo o disco de raio
,
Isto é um cálculo rápido que mostra como a integral de linha fica fácil usando Green.
Passo 9
Resumo das hipóteses e objetos definidos (checagem rápida):
- Hipóteses:
com derivadas parciais contínuas em um aberto que contém ; peça‑a‑peça suave; orientação positiva (anti‑horária). - Objetos: integral de linha
, integral de fluxo , divergência , curl escalar , 1‑forma e sua derivada exterior .