Primeira Questão (0,5pt): Enuncie as três formulações do Teorema de Green e defina os objetos matemáticos utilizados em suas expressões.

Passo 1

O que o enunciado pede: enunciar as três formulações do Teorema de Green e definir os objetos matemáticos usados nas expressões.
Informações / hipóteses que vamos assumir (essas são as condições padrão necessárias para aplicar o Teorema de Green):
  • D é uma região limitada do plano \mathbb{R}^2 cujo bordo \partial D é uma curva(s) fechada(s) simples e de classe peça‑a‑peça suave.
  • A orientação de \partial D é a orientação positiva (contrária ao sentido horário, isto é, no sentido anti‑horário), também chamada de orientação que deixa D à esquerda ao percorrer \partial D.
  • P(x,y) e Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas num aberto que contém D.
    Nada mais foi dado no enunciado, então adotamos essas hipóteses padrão para escrever e explicar as três formulações.

Passo 2

Definições básicas e interpretação intuitiva (antes de enunciar as fórmulas):
  • O bordo \partial D é a união de curvas fechadas suaves que delimitam D. Uma parametrização típica é \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, com \mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b).
  • Integral de linha do tipo \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy: é a integral ao longo de \partial D da 1‑forma P\,dx+Q\,dy. Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) então
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)\bigr)\,dt.
  • Integral dupla \iint_{D} f(x,y)\,dA: soma (no sentido de área) do valor f(x,y) sobre os pontos de D. A notação dA significa o elemento de área (pequeno retângulo de lados dx e dy).
  • Derivadas parciais \partial P/\partial x, \partial Q/\partial y existem e são contínuas no interior de D.

Passo 3

Primeira formulação — forma de circulação (a forma clássica mais conhecida):
Enunciado:
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Interpretação física e intuitiva: a integral de linha no lado esquerdo mede a circulação total do campo \mathbf{F}=(P,Q) ao longo do contorno \partial D; o integrando do lado direito, \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y, é a componente “rotacional” (chamada às vezes de curl escalar em 2D) que mede a rotação local do campo em cada ponto. O Teorema diz: soma das rotações locais (integrada na área) = circulação global ao redor do contorno.
Explicação didática de porque faz sentido (ideia da prova): divida D em retângulos pequenos. Em cada retângulo a integral de linha ao redor é aproximadamente a integral do curl vezes a área do retângulo (pelo Teorema Fundamental do Cálculo aplicado em direções x e y). Ao somar retângulos, as integrais nas arestas internas cancelam (porque são percorridas em sentidos opostos) e sobra apenas o contorno externo, produzindo a igualdade acima.

Passo 4

Definição e interpretação do termo \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}:
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x: medida de como a componente Q do campo varia quando nos deslocamos na direção x.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • A diferença \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} é o “curl escalar” em 2D; se for positiva localmente significa que o campo tende a girar no sentido anti‑horário naquele ponto; se for negativa, no sentido horário.

Passo 5

Segunda formulação — forma de fluxo (ou forma divergente / teorema da divergência no plano):
Enunciado:
\oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA.
O que isso significa: o lado esquerdo é o fluxo do campo \mathbf{F}=(P,Q) através do contorno \partial D com a normal exterior, escrito em termos de dx,dy. O lado direito é a integral dupla da divergência \nabla\cdot\mathbf{F} = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y. Interpretação: a divergência local mede a “taxa de fonte” (quanto o campo está saindo ou entrando) em cada ponto; integrando sobre D obtemos o fluxo total que sai por \partial D.
Relação com a primeira formulação: se você rotacionar o campo \mathbf{F} em 90^\circ (por exemplo definindo \tilde P = -Q,\\ \tilde Q = P), e aplicar a formulação de circulação à (\tilde P,\tilde Q), obtém a fórmula de fluxo para (P,Q). Assim as duas versões são equivalentes via rotação de campo.

Passo 6

Definição da expressão \oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx como fluxo:
  • Para uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) de \partial D com orientação positiva, o elemento de comprimento dirigido é \mathbf{r}'(t)dt=(x'(t),y'(t))dt. O vetor normal exterior vezes ds pode ser escrito como (y'(t),-x'(t))dt.
  • Então o fluxo \oint_{\partial D} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds torna‑se
\oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx = \int_a^b \bigl(P(x,y)\,y'(t) - Q(x,y)\,x'(t)\bigr)\,dt,
e o Teorema iguala isso à integral da divergência sobre D.

Passo 7

Terceira formulação — forma das formas diferenciais / Teorema de Stokes em 2D (enquadramento moderno):
Enunciado (forma elegante e compacta usando formas diferenciais):
\int_{\partial D} \omega = \int_{D} d\omega,
onde \omega é a 1‑forma \omega = P\,dx + Q\,dy e d\omega é a 2‑forma exterior
d\omega = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\wedge dy.
Explicação didática e interpretação:
  • Uma 1‑forma \omega = P\,dx+Q\,dy é um objeto que ao ser integrado ao longo de uma curva produz a integral de linha \oint P\,dx+Q\,dy.
  • O operador exterior d calcula algo como a “variação” da 1‑forma; em coordenadas planas isso dá exatamente o escalar \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y multiplicado pelo elemento de área dx\wedge dy.
  • Essa formulação é um caso particular do Teorema de Stokes em variedades: a integral da derivada exterior d\omega sobre uma região é igual à integral de \omega sobre o bordo.

Passo 8

Breve exemplo ilustrativo (para fixar a ideia):
Considere \mathbf{F}(x,y)=\bigl(-\tfrac{y}{2},\tfrac{x}{2}\bigr). Então P=-\tfrac{y}{2} e Q=\tfrac{x}{2}. Calculamos o curl escalar:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{y}{2}\Bigr) = \frac{1}{2} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1.
Pelo Teorema de Green (forma de circulação), para D sendo o disco de raio R,
\oint_{\partial D} -\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy = \iint_{D} 1\,dA = \text{área}(D) = \pi R^2.á
Isto é um cálculo rápido que mostra como a integral de linha fica fácil usando Green.

Passo 9

Resumo das hipóteses e objetos definidos (checagem rápida):
  • Hipóteses: P,Q com derivadas parciais contínuas em um aberto que contém D; \partial D peça‑a‑peça suave; orientação positiva (anti‑horária).
  • Objetos: integral de linha \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy, integral de fluxo \oint_{\partial D} P\,dy-Q\,dx, divergência \partial P/\partial x+\partial Q/\partial y, curl escalar \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y, 1‑forma \omega=P\,dx+Q\,dy e sua derivada exterior d\omega.

Resposta

\displaystyle \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.\n
\displaystyle \oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)\,dA.\n
\displaystyle \int_{\partial D} \omega = \int_{D} d\omega,\\ \text{onde }\omega=P\,dx+Q\,dy\text{ e }d\omega=\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dx\wedge dy.

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