Resolva os problemas de valor inicial dados:
Passo 1
O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial que vou interpretar como
Listei as informações importantes recebidas:
Observação: a equação usa
, portanto vamos trabalhar com
.
Passo 2
Identificamos o tipo de equação: ela é separável porque podemos escrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A ideia do método separação de variáveis é rearranjar a equação na forma
e então integrar ambos os lados. Vou aplicar isso direto ao nosso caso.
Passo 3
Separe as variáveis. Da equação
multiplicamos ambos os lados por
para obter
Agora estamos prontos para integrar o lado esquerdo em
e o direito em
.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Começamos pelo lado esquerdo, que é direto:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral do lado direito.
Passo 5
Calcular
. Fazemos a substituição útil
Com isso a integral vira
Agora usamos integração por partes em
. Lembrando a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Multiplicando por
voltamos à variável
(
):
onde
é uma constante (igual a
).
Passo 6
Agora igualamos as integrais (capturando todas as constantes numa constante só). Do passo 4 e passo 5 temos
onde
é constante de integração (absorvi
e
). Multiplicando por
para simplificar:
com
.
Passo 7
Use a condição inicial
para determinar
. Substituindo
(então
e
) e
em
obtém-se
Portanto a solução implícita é
Passo 8
Passamos para a solução explícita em
. Tomando raiz quadrada:
Como a condição inicial dá
, escolhemos o ramo positivo (a solução é contínua perto de
), logo
Lembre que a equação original exige
e usamos
, então consideramos
e os
onde o radicando é não negativo. Pela condição inicial temos pelo menos continuidade e valor definido em
.