Resolva os problemas de valor inicial dados:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{y} ; y(x)=1

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{y}
com a condição inicial que vou interpretar como
y(0)=1.
Listei as informações importantes recebidas:
\text{(i)}\quad \frac{dy}{dx}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{y},\qquad \text{(ii)}\quad y(0)=1.
Observação: a equação usa \sqrt{x}, portanto vamos trabalhar com x\ge 0.

Passo 2

Identificamos o tipo de equação: ela é separável porque podemos escrever os termos com y de um lado e os termos com x do outro. A ideia do método separação de variáveis é rearranjar a equação na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Vou aplicar isso direto ao nosso caso.

Passo 3

Separe as variáveis. Da equação
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{y}
multiplicamos ambos os lados por y\,dx para obter
y\,dy = e^{\sqrt{x}}\,dx.
Agora estamos prontos para integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int e^{\sqrt{x}}\,dx.
Começamos pelo lado esquerdo, que é direto:
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^2 + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral do lado direito.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\,dx. Fazemos a substituição útil
u=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad x=u^2,\quad dx=2u\,du.
Com isso a integral vira
\int e^{\sqrt{x}}\,dx = \int e^{u}\cdot 2u\,du = 2\int u e^{u}\,du.
Agora usamos integração por partes em \displaystyle \int u e^{u}\,du. Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int U\,dV = UV - \int V\,dU.
Escolhemos U=u e dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. Aplicando:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C_2 = e^{u}(u-1) + C_2.
Multiplicando por 2 voltamos à variável x ( u=\sqrt{x}):
\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + C_3,
onde C_3 é uma constante (igual a 2C_2).

Passo 6

Agora igualamos as integrais (capturando todas as constantes numa constante só). Do passo 4 e passo 5 temos
\frac{1}{2}y^2 = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + C,
onde C é constante de integração (absorvi C_1 e C_3). Multiplicando por 2 para simplificar:
y^2 = 4e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + C',
com C'=2C.

Passo 7

Use a condição inicial y(0)=1 para determinar C'. Substituindo x=0 (então \sqrt{0}=0 e e^{0}=1) e y=1 em
y^2 = 4e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + C'
obtém-se
1^2 = 4\cdot 1\cdot(0-1) + C' \quad\Rightarrow\quad 1 = -4 + C' \quad\Rightarrow\quad C' = 5.
Portanto a solução implícita é
y^2 = 4e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + 5.

Passo 8

Passamos para a solução explícita em y. Tomando raiz quadrada:
y(x) = \pm\sqrt{\,4e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + 5\,}.
Como a condição inicial dá y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo (a solução é contínua perto de x=0), logo
y(x)=\sqrt{\,4e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+5\,}.
Lembre que a equação original exige y\neq 0 e usamos \sqrt{x}, então consideramos x\ge 0 e os x onde o radicando é não negativo. Pela condição inicial temos pelo menos continuidade e valor definido em x=0.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,4e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+5\,},\quad x\ge 0

Exercícios relacionados