Resolva os problemas de valor inicial dados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Ele também escreve a equação na forma
e solicita identificar
(ou seja, colocar a ED na forma diferencial exata
). As informações relevantes dadas são:
- A equação diferencial e a condição inicial
. - A forma alternativa da equação já multiplicada pelo denominador
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma diferencial
. Partindo de
multiplicando por
obtemos
Portanto, identificamos as funções
e
como:
Passo 3
Verificamos se a forma é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
(ou seja,
em geral), a equação não é exata na forma dada.
Passo 4
Tentamos encontrar um fator integrante simples. Lembre que se existir um fator integrante
dependente só de
, então
leva à condição equivalente
que deve depender apenas de
. Aqui
que ainda depende de
, logo não é função só de
— portanto não existe fator integrante apenas em
.
Analogamente, para um fator integrante
dependente só de
a condição seria
mas aqui
que depende de
e
, logo não é função só de
. Portanto não há fator integrante simples dependente só de
ou só de
.
Passo 5
Resumo do que fizemos e orientação prática para a prova: identificamos
e verificámos que a equação não é exata e não admite fator integrante elementar do tipo
ou
. Isso significa que as abordagens padrão (exatidão direta ou fator integrante somente em
ou somente em
) falham. A partir daqui há duas opções razoáveis em prova/estudo:
- tentar procurar um fator integrante mais sofisticado (função de uma combinação linear
ou de alguma função explícita de ), o que normalmente exige tentativa e erro ou reconhecimento de uma estrutura especial; ou - aplicar métodos numéricos/implícitos para obter a solução próxima da condição inicial (se permitido), ou apresentar a solução em forma implícita caso se encontre uma integral de primeira ordem via substituição adequada.
Como o exercício pede explicitamente identificar
no trecho fornecido, entregamos esse valor e mostramos que métodos diretos não resolvem a equação de maneira elementar.