Resolva os problemas de valor inicial dados:
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x^{2}+2 y+2} ; \quad y(-1)=-1
\begin{aligned} & \left(3 x^{2}+2 y+2\right) y^{\prime}-3 x-2 y=0 \\\ & M(x, y)= \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x^{2}+2 y+2},\qquad y(-1)=-1.
Ele também escreve a equação na forma
\left(3 x^{2}+2 y+2\right) y^{\prime}-3 x-2 y=0
e solicita identificar M(x,y) (ou seja, colocar a ED na forma diferencial exata M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0). As informações relevantes dadas são:
  • A equação diferencial e a condição inicial \bigl(x_0=-1,\;y_0=-1\bigr).
  • A forma alternativa da equação já multiplicada pelo denominador \left(3x^{2}+2y+2\right).

Passo 2

Colocamos a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Partindo de
\left(3 x^{2}+2 y+2\right)\frac{dy}{dx}-3 x-2 y=0,
multiplicando por dx obtemos
-(3x+2y)\,dx + (3x^{2}+2y+2)\,dy = 0.
Portanto, identificamos as funções M e N como:
M(x,y)=-(3x+2y),\qquad N(x,y)=3x^{2}+2y+2.

Passo 3

Verificamos se a forma é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3x-2y\bigr)=-2,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}+2y+2\bigr)=6x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq \dfrac{\partial N}{\partial x} (ou seja, -2\neq 6x em geral), a equação não é exata na forma dada.

Passo 4

Tentamos encontrar um fator integrante simples. Lembre que se existir um fator integrante \mu=\mu(x) dependente só de x, então
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)
leva à condição equivalente
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{\mu'}{\mu},
que deve depender apenas de x. Aqui
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{-2-6x}{3x^{2}+2y+2},
que ainda depende de y, logo não é função só de x — portanto não existe fator integrante apenas em x.
Analogamente, para um fator integrante \mu=\mu(y) dependente só de y a condição seria
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{\mu'}{\mu},
mas aqui
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{6x+2}{-(3x+2y)},
que depende de x e y, logo não é função só de y. Portanto não há fator integrante simples dependente só de x ou só de y.

Passo 5

Resumo do que fizemos e orientação prática para a prova: identificamos
M(x,y)=-(3x+2y),\qquad N(x,y)=3x^{2}+2y+2,
e verificámos que a equação não é exata e não admite fator integrante elementar do tipo \mu(x) ou \mu(y). Isso significa que as abordagens padrão (exatidão direta ou fator integrante somente em x ou somente em y) falham. A partir daqui há duas opções razoáveis em prova/estudo:
  • tentar procurar um fator integrante mais sofisticado (função de uma combinação linear ax+by ou de alguma função explícita de x,y), o que normalmente exige tentativa e erro ou reconhecimento de uma estrutura especial; ou
  • aplicar métodos numéricos/implícitos para obter a solução próxima da condição inicial (se permitido), ou apresentar a solução em forma implícita caso se encontre uma integral de primeira ordem via substituição adequada.
Como o exercício pede explicitamente identificar M(x,y) no trecho fornecido, entregamos esse valor e mostramos que métodos diretos não resolvem a equação de maneira elementar.

Resposta

M(x,y)=-(3x+2y)

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