Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int \sqrt{5 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{5x - 1}\,dx
usando o método da substituição. Vamos reconhecer essa integral como do tipo
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx
e escolher uma substituição adequada.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 5x - 1.
Então, derivando ambos os lados, obtemos
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \sqrt{5x - 1}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int u^{\frac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{5}\int u^{\frac12}\,du = \frac{1}{5}\cdot \frac{u^{\frac32}}{\tfrac32} + C = \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\frac32} + C = \frac{2}{15}\,u^{\frac32} + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u=5x-1, concluímos que
\int \sqrt{5x - 1}\,dx = \frac{2}{15}\,(5x - 1)^{\frac32} + C.

Resposta

\int \sqrt{5x - 1}\,dx = \frac{2}{15}\,(5x - 1)^{\frac32} + C.

Exercícios relacionados