Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int x \cdot \cos 3 x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cdot \cos\bigl(3x^{2}\bigr)\,dx
usando o método da substituição. O conteúdo de matéria é identificar uma parte g(x) cuja derivada apareça no integrando e aplicar
\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x^{2}.
Então sua diferencial é
du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{6}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int x \cos\bigl(3x^{2}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\;\bigl(x\,dx\bigr) = \int \cos(u)\,\frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6}\,\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \cos(u):
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Logo
\frac{1}{6}\,\int \cos(u)\,du = \frac{1}{6}\,\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x (isto é, u=3x^{2}):
\frac{1}{6}\,\sin(u) + C = \frac{1}{6}\,\sin\bigl(3x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\int x \cos\bigl(3x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{6}\,\sin\bigl(3x^{2}\bigr) + C.

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