Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int \frac{1}{(3 x+7)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{(3x+7)^{2}}\,dx
usando o método da substituição. O conteúdo aqui é reconhecer uma função composta da forma f(g(x)) vezes g'(x) e aplicar a troca de variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x + 7.
Diferenciando, obtemos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{1}{(3x+7)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} e voltando para x, ficamos com
\frac{1}{3}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{3u} + C = -\frac{1}{3\,(3x+7)} + C.

Resposta

-\frac{1}{3\,(3x+7)} + C

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