Determine:
\int\left(x^{3}-3 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)\,dx.
Aqui vamos usar a linearidade das integrais e a regra de potência, que afirma que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade, separamos a integral em três partes:
\int\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx \;-\; 3\int x\,dx \;+\; \int 1\,dx.
Aplicando a regra de potência em cada termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int 1\,dx = x.

Passo 3

Agora basta juntar tudo e incluir a constante de integração C:
\int\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} -3\cdot\frac{x^{2}}{2} + x + C = \frac{x^{4}}{4} -\frac{3x^{2}}{2} + x + C.

Resposta

\frac{x^{4}}{4} \;-\; \frac{3x^{2}}{2} \;+\; x \;+\; C.

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