Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando integração por partes:
(10) integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3 e^x^2,dx usando integração por partes. O conteúdo principal é integração por partes, e vamos precisar lembrar que escolhemos duas funções, uma para derivar e outra para integrar.

Passo 2

Para aplicar integração por partes escolhemos repartir x^3 e^x^2 como produto de u=x^2 e dv=x e^x^2,dx. Assim fica mais fácil porque sabemos integrar x e^x^2.

Passo 3

Calculamos agora as derivadas e integrais auxiliares:
  • u=x^2 implica du=2x,dx.
  • Para dv=x e^x^2,dx, fazemos a substituição t=x^2, logo dt=2x,dx e
v=integral x e^x^2,dx=integral e^t,dt2=tfrac12 e^t=tfrac12 e^x^2

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Substituindo:
integral x^3 e^x^2,dx = x^2cdottfrac12 e^x^2 - integral tfrac12 e^x^2cdot(2x,dx)

Passo 5

Dentro da integral restante vemos que 2x,dx cancela o tfrac12, então
integral x^3 e^x^2,dx = tfrac12 x^2 e^x^2 - integral e^x^2x,dx
E já sabemos que integral e^x^2x,dx=tfrac12 e^x^2, então
Simplificando obtemos
integral x^3 e^x^2,dx = tfrac12 x^2 e^x^2 - tfrac12 e^x^2 + C = tfrac12 e^x^2(x^2 -1) + C

Resposta

tfrac12 e^x^2(x^2 -1) + C

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