j) lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2 x2 x^2+y^2

Passo 1

Estamos diante do limite de uma função de duas variáveis,
queremos calcular
lim(x,y)to(0,0) x^2+sin^2 x2x^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar de expansão em série de Taylor para sin x e análise de caminhos de aproximação.

Passo 2

Para entender o comportamento do numerador para x próximo de zero, usamos a expansão de sin x:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Logo,
sin^2 x = x^2 - 13x^4 + O(x^6)
e o numerador fica
x^2 + sin^2 x = 2x^2 + O(x^4)

Passo 3

Analisamos primeiro o caminho y=0. Nesse caso
x^2+sin^2 x2x^2+y^2 = x^2+sin^2 x2x^2 = 2x^2+O(x^4)2x^2 = 1 + O(x^2)
Portanto
limxto0x^2+sin^2 x2x^2 = 1

Passo 4

Agora fazemos o caminho y=x. Temos
x^2+sin^2 x2x^2+y^2 = x^2+sin^2 x2x^2+x^2 = 2x^2 + O(x^4)3x^2 = 23 + O(x^2)
Logo
limxto0x^2+sin^2 x3x^2 = 23

Passo 5

Como ao longo de caminhos diferentes obtemos valores distintos ( 1 e 2/3), o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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