Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando integração por partes:
(5) integral arccos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral arccos(x),dx usando a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Para isso, vamos escolher funções u e dv de forma adequada.

Passo 2

Escolhemos
u = arccos(x), dv = dx
Então precisamos de
du = ddxl(arccos(x)r),dx = -1raiz1 - x^2,dx, v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du,
substituímos:
integral arccos(x),dx = xarccos(x) - integral xl(-1raiz1-x^2r)dx = xarccos(x) + integral xraiz1-x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral xraiz1-x^2,dx, fazemos a substituição
t = 1 - x^2, dt = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -12,dt
Assim
integral xraiz1-x^2,dx = integral 1raizt l(-tfrac12,dtr) = -12 integral t^-1/2,dt = -12 cdot 2raizt = -raizt = -raiz1-x^2

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos
integral arccos(x),dx = xarccos(x) + l(-raiz1-x^2r) + C = xarccos(x) - raiz1-x^2 + C

Resposta

xarccos(x) - raiz1 - x^2 + C

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