Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando integração por partes:
(7) integral x ln (x) d x

Passo 1

Este exercício pede a integral indefinida integral xln(x),dx usando integração por partes. O assunto é integração por partes e vamos utilizar a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = ln(x) porque sua derivada simplifica, e dv = x,dx. Derivando e integrando, temos du = 1x,dx e v = integral x,dx = x^22.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
integral xln(x),dx = u,v - integral v,du = x^22ln(x) - integral x^22cdot1x,dx
Observamos que integral x^22cdot1x,dx = integral x2,dx = x^24. Voltando à expressão por partes e incluindo a constante C, chegamos ao resultado final.

Resposta

x^22ln(x) - x^24 + C

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