Questão 2. Considere a equação diferencial
t^2 d^2 yd t^2-t(2-4 t^2) d yd t+(4 t^4-2 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty e^t^2-1 y(t)t^2=y^prime(1)2+y(1).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a equação diferencial de segunda ordem


t{2}y’’-t(2-4t{2})y’+(4t{4}-2t{2})y=0, t>0, sabendo que há solução tipo y=e^{r t^{2}}. Precisamos descobrir as soluções fundamentais, escrever a solução geral e analisar o limite limtto+infty e^t^2-1y(t)t^2.

Passo 2

Assumimos y=e^r t^2. Então y'=2rt e^rt^2 e y''=(2r+4r^2t^2)e^rt^2. Substituindo na equação e cancelando e^rt^2 obtemos
4(r+1)^2t^4-2(r+1)t^2=0
que para todo t só se anula se r+1=0. Logo r=-1 é o único valor, dando a primeira solução y1(t)=e^-t^2.

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Colocando a EDO na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=0 e calculando o wronskiano, chega-se a
y2(t)=t^3e^-t^2
Assim a solução geral é
y(t)=C1e^-t^2+C2t^3e^-t^2=e^-t^2(C1+C2t^3)

Passo 4

Agora analisamos o limite proposto. Temos
e^t^2-1y(t)t^2=e^-1(C1+C2t^3)t^2=e^-1l(C1t^2+C2tr)
Para C2neq0 isto diverge linearmente (vai para +infty ou -infty conforme o sinal de C2).

Passo 5

Portanto a igualdade
limtto+inftye^t^2-1y(t)t^2=y'(1)2+y(1)
não é verdadeira em geral (o limite diverge salvo no caso degenerado C2=0).

Resposta

A afirmação dada é falsa, pois em geral o limite diverge em vez de convergir para y'(1)/2+y(1).

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