Questão 2. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a equação diferencial de segunda ordem
t{2}y’’-t(2-4t{2})y’+(4t{4}-2t{2})y=0, t>0, sabendo que há solução tipo y=e^{r t^{2}}. Precisamos descobrir as soluções fundamentais, escrever a solução geral e analisar o limite .
t{2}y’’-t(2-4t{2})y’+(4t{4}-2t{2})y=0, t>0, sabendo que há solução tipo y=e^{r t^{2}}. Precisamos descobrir as soluções fundamentais, escrever a solução geral e analisar o limite
Passo 2
Assumimos
. Então
e
. Substituindo na equação e cancelando
obtemos
que para todo
só se anula se
. Logo
é o único valor, dando a primeira solução
.
Passo 3
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Colocando a EDO na forma padrão
e calculando o wronskiano, chega-se a
Assim a solução geral é
Passo 4
Agora analisamos o limite proposto. Temos
Para
isto diverge linearmente (vai para
ou
conforme o sinal de
).
Passo 5
Portanto a igualdade
não é verdadeira em geral (o limite diverge salvo no caso degenerado
).
Resposta
A afirmação dada é falsa, pois em geral o limite diverge em vez de convergir para
.