Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
а) x^4+x-3=0,(1,2);
b) e^x=3-2 x,(0,1).

Passo 1

Resumo do problema e teoria necessária: precisamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função f é contínua no intervalo [a,b] e f(a)·f(b)<0, então existe pelo menos um c em (a,b) tal que f©=0. Vamos aplicar isso aos dois casos, avaliando as funções nos extremos dos intervalos e verificando a troca de sinais.

Passo 2

No caso (a), defina a função f(x)=x^4+x-3. Como é um polinômio, f é contínua em [1,2]. Agora calculamos nos extremos:
Calculamos f(1):
f(1)=1^4+1-3=-1
e f(2):
f(2)=2^4+2-3=15
Como f(1)=-1<0 e f(2)=15>0, há troca de sinais em [1,2], logo existe cin(1,2) tal que f(c)=0.

Passo 3

No caso (b), defina g(x)=e^x-(3-2x)=e^x+2x-3. Essa combinação de exponencial e reta é contínua em [0,1]. Calculamos nos extremos:
Calculamos g(0):
g(0)=e^0+2cdot0-3=1-3=-2
e g(1):
g(1)=e^1+2cdot1-3=e-1approx1.718>0
Como g(0)=-2<0 e g(1)>0, ocorre troca de sinais em [0,1], então existe cin(0,1) tal que g(c)=0.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação x^4+x-3=0 tem pelo menos uma raiz em (1,2) e a equação e^x=3-2x tem pelo menos uma raiz em (0,1).

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