Seja
a função definida por:
a) Esboce o gráfico de
.
b) Calcule
.
c) A função
é contínua em
? Justifique.
a) Esboce o gráfico de
b) Calcule
c) A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você me enviou! A gente vai trabalhar com uma função definida por partes, que envolve conceitos de gráficos de funções, limites e continuidade. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como esboçar gráficos de funções, calcular limites e verificar se a função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
a) Esboce o gráfico de
.
Vamos começar desenhando o gráfico da função
. A função é definida por duas partes:
- Para
, temos , que é uma parábola. - Para
, , que é apenas um ponto específico.
Primeiro, desenhamos a parábola
. Essa é uma parábola voltada para cima com vértice em
.
Agora, observamos o ponto onde
. Substituindo
na parábola, teríamos
. Mas, pelo enunciado, quando
,
. Então, no gráfico, vamos marcar um ponto aberto em
e um ponto fechado em
.
Passo 3
b) Calcule
.
Para calcular o limite quando
se aproxima de -3, observamos o comportamento de
próximo a esse ponto, excluindo o próprio ponto
.
Como para
,
, calculamos o limite de
quando
tende a -3:
Então,
.
Passo 4
c) A função
é contínua em
? Justifique.
Para verificar a continuidade em
, precisamos ver se três condições são satisfeitas:
- A função está definida em
: Sim, . - O limite existe quando
tende a -3: Calculamos e vimos que . - O limite é igual ao valor da função em
: Aqui, temos .
Como a terceira condição não é satisfeita, a função
não é contínua em
.
Resposta
a) O gráfico de
é uma parábola
com um ponto fechado em
e um ponto aberto em
.
b) .
c) A função não é contínua em
porque o limite quando
tende a -3 (0) é diferente do valor da função nesse ponto (4).
b)
c) A função