Seja f a função definida por: f(x)=ccx^2-9, & se x neq-3 4, & se x=-3
a) Esboce o gráfico de f(x).
b) Calcule lim x -3 f(x).
c) A função f(x) é contínua em x=-3 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você me enviou! A gente vai trabalhar com uma função definida por partes, que envolve conceitos de gráficos de funções, limites e continuidade. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como esboçar gráficos de funções, calcular limites e verificar se a função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

a) Esboce o gráfico de .
Vamos começar desenhando o gráfico da função . A função é definida por duas partes:
  1. Para , temos , que é uma parábola.
  2. Para , , que é apenas um ponto específico.
Primeiro, desenhamos a parábola . Essa é uma parábola voltada para cima com vértice em .
Agora, observamos o ponto onde . Substituindo na parábola, teríamos . Mas, pelo enunciado, quando , . Então, no gráfico, vamos marcar um ponto aberto em e um ponto fechado em .

Passo 3

b) Calcule limx -3 (x^2 - 9) = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0 .
Para calcular o limite quando se aproxima de -3, observamos o comportamento de próximo a esse ponto, excluindo o próprio ponto .
Como para , , calculamos o limite de quando tende a -3:
Então, .

Passo 4

c) A função é contínua em ? Justifique.
Para verificar a continuidade em , precisamos ver se três condições são satisfeitas:
  1. A função está definida em : Sim, .
  2. O limite existe quando tende a -3: Calculamos e vimos que .
  3. O limite é igual ao valor da função em : Aqui, temos .
Como a terceira condição não é satisfeita, a função não é contínua em .

Resposta

a) O gráfico de é uma parábola com um ponto fechado em e um ponto aberto em .
b) .
c) A função não é contínua em porque o limite quando tende a -3 (0) é diferente do valor da função nesse ponto (4).

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