Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando substituição trigonométrica
\int \frac{\sqrt{4 x^{2}-25}}{x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{\sqrt{4 x^{2}-25}}{x}\,dx.
  • Informação importante que vem do integrando: para a raiz ser real precisamos de 4x^{2}-25\ge 0, ou seja |x|\ge \dfrac{5}{2}. Isso define o domínio onde a expressão real faz sentido; mais adiante vou escolher uma convenção de sinais (caso x>\tfrac{5}{2}) para simplificar a substituição trigonométrica.
  • Não há outros dados; o enunciado pediu explicitamente para usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Escolha da substituição trigonométrica e justificativa.
  • Observe a expressão sob a raiz: 4x^{2}-25 = 4\bigl(x^{2}-(5/2)^{2}\bigr). Isso tem a forma x^{2}-a^{2} com a=\tfrac{5}{2}. A substituição padrão para \sqrt{x^{2}-a^{2}} é
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque então x^{2}-a^{2}=a^{2}(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)=a^{2}\tan^{2}\theta, cuja raiz é a\tan\theta.
  • Vamos tomar
a=\frac{5}{2},\qquad x = a\operatorname{sec}\theta=\frac{5}{2}\operatorname{sec}\theta.
  • Para simplificar os sinais, adotamos a faixa \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) que corresponde a x\ge a (ou seja x\ge \tfrac{5}{2}). Se depois quiser a primitiva válida para x\le -\tfrac{5}{2} há que ajustar sinais, mas o processo é o mesmo.
  • Calculemos também a diferencial:
dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Converter todas as partes do integrando para \theta.
  • Calcule a raiz usando a substituição:
\sqrt{4x^{2}-25}=\sqrt{4\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)}=\sqrt{4a^{2}\tan^{2}\theta}=2a\tan\theta,
usando a convenção \tan\theta\ge 0 na faixa escolhida.
  • Substituindo x=a\operatorname{sec}\theta e dx=a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta no integrando,
\frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{x}\,dx = \frac{2a\tan\theta}{a\operatorname{sec}\theta}\cdot \bigl(a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr).
  • Simplificando fator a fator:
\frac{2a\tan\theta}{a\operatorname{sec}\theta}\cdot a\operatorname{sec}\theta\tan\theta =2a\tan^{2}\theta\,d\theta.
Portanto a integral em x vira uma integral em \theta:
\int \frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{x}\,dx = \int 2a\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar em \theta usando identidades trigonométricas.
  • Recordando uma identidade trigonométrica útil:
\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1.
  • Substituindo na integral:
\int 2a\tan^{2}\theta\,d\theta = 2a\int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta =2a\Bigl(\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta - \int 1\,d\theta\Bigr).
  • Sabendo que \dfrac{d}{d\theta}(\tan\theta)=\operatorname{sec}^{2}\theta, temos \int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\tan\theta. E \int 1\,d\theta=\theta.
  • Logo
\int 2a\tan^{2}\theta\,d\theta = 2a\bigl(\tan\theta-\theta\bigr)+C.

Passo 5

Expressar \tan\theta e \theta em função de x (triângulo trigonométrico/back-substituição).
  • Lembrando x=a\operatorname{sec}\theta, tem-se \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{a}. Pense num triângulo retângulo com hipotenusa x e adjacente a; então o cateto oposto é \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Assim
\tan\theta=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}.
  • Com a=\dfrac{5}{2} podemos escrever \tan\theta em termos de \sqrt{4x^{2}-25}. Observe
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{x^{2}-\tfrac{25}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}-25},
portanto
\tan\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}=\frac{\tfrac{1}{2}\sqrt{4x^{2}-25}}{\,\tfrac{5}{2}\,} =\frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5}.
  • Para \theta podemos usar a função arco tangente:
\theta=\arctan\!\biggl(\frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5}\biggr),
válida na faixa escolhida (em que \tan\theta\ge0).

Passo 6

Substituir as expressões de \tan\theta e \theta na primitiva obtida em \theta.
  • Na expressão obtida em \theta,
2a\bigl(\tan\theta-\theta\bigr)+C,
lembre que 2a=2\cdot \tfrac{5}{2}=5. Assim a primitiva em termos de \theta é
5\bigl(\tan\theta-\theta\bigr)+C.
  • Usando as relações do passo anterior \tan\theta=\dfrac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5} e \theta=\arctan\!\bigl(\dfrac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5}\bigr), chegamos à primitiva final em x apresentada abaixo.

Resposta

\displaystyle \sqrt{4x^{2}-25}-5\arctan\!\Bigl(\dfrac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5}\Bigr)+C

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