Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando substituição trigonométrica
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação importante que vem do integrando: para a raiz ser real precisamos de
, ou seja . Isso define o domínio onde a expressão real faz sentido; mais adiante vou escolher uma convenção de sinais (caso ) para simplificar a substituição trigonométrica. - Não há outros dados; o enunciado pediu explicitamente para usar substituição trigonométrica.
Passo 2
Escolha da substituição trigonométrica e justificativa.
- Observe a expressão sob a raiz:
. Isso tem a forma com . A substituição padrão para é
porque então
, cuja raiz é
.
- Vamos tomar
- Para simplificar os sinais, adotamos a faixa
que corresponde a (ou seja ). Se depois quiser a primitiva válida para há que ajustar sinais, mas o processo é o mesmo. - Calculemos também a diferencial:
Passo 3
Converter todas as partes do integrando para
.
- Calcule a raiz usando a substituição:
usando a convenção
na faixa escolhida.
- Substituindo
e no integrando,
- Simplificando fator a fator:
Portanto a integral em
vira uma integral em
:
Passo 4
Integrar em
usando identidades trigonométricas.
- Recordando uma identidade trigonométrica útil:
- Substituindo na integral:
- Sabendo que
, temos . E . - Logo
Passo 5
Expressar
e
em função de
(triângulo trigonométrico/back-substituição).
- Lembrando
, tem-se . Pense num triângulo retângulo com hipotenusa e adjacente ; então o cateto oposto é . Assim
- Com
podemos escrever em termos de . Observe
portanto
- Para
podemos usar a função arco tangente:
válida na faixa escolhida (em que
).
Passo 6
Substituir as expressões de
e
na primitiva obtida em
.
- Na expressão obtida em
,
lembre que
. Assim a primitiva em termos de
é
- Usando as relações do passo anterior
e , chegamos à primitiva final em apresentada abaixo.