Calcule uma raiz da funçīo
utilizando o método de Newton. Considere
. critério de parada erro relativo e toleraincia
Passo 1
O enunciado pede: calcular uma raiz da função
usando o método de Newton, com aproximação inicial
, e critério de parada baseado em erro relativo menor que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Ponto inicial:
. - Critério de parada: erro relativo
. - Valor numérico aproximado de
(útil): .
Passo 2
O que é o método de Newton (explicação didática, sem pular etapas):
- Objetivo do método: encontrar uma raiz real de uma função
, ou seja um tal que . - Passo iterativo (fórmula): a partir de uma aproximação
calcula-se
onde
é a derivada de
.
- Intuição simples: aproximamos
por sua reta tangente em e tomamos a abscissa da interseção dessa reta com o eixo . - Critério de parada usado aqui: erro relativo entre iterações sucessivas,
e paramos quando esse valor ficar menor que
.
Aplicando ao nosso
:
- Derivada de
:
(Na derivada
é uma constante, sua derivada é zero.)
- Portanto a iteração de Newton fica
Passo 3
Antes de executar iterações, é obrigatório checar se existe raiz real — isso evita perder tempo tentando achar algo que não existe.
Observação sobre os valores possíveis de
:
- Sabemos que
toma valores no intervalo para todo . - Então
para todo .
Agora compare com
:
- Numericamente
. - Como
sempre, temos para todo
- Como
, concluímos que para todo .
Conclusão importante (passo crítico, explicado devagar):
- Se
para todo , então não existe real tal que . Ou seja, a equação não tem solução real. - Portanto não há raiz real a ser encontrada pelo método de Newton no conjunto dos números reais.
(Comentário didático: antes de aplicar um método numérico sempre verifique existência de solução no domínio considerado. Aqui a verificação é simples porque usamos o fato que
está limitado entre
e
.)
Passo 4
O que acontece se mesmo assim tentarmos iterar numericamente (ilustração do porquê não faz sentido):
- Como
é sempre negativo, o método de Newton, ao procurar uma interseção com o eixo da tangente, tende a “puxar” as iterações para valores onde a tangente cruza o eixo — mas não existe cruzamento real de com o eixo, então as iterações não têm um alvo real fixo e podem oscilar ou divergir. - Exemplo de poucas iterações numéricas (apenas ilustrativas, números arredondados):
-
. - Calculando
e , obtemos . - A iteração seguinte dá
. - Em seguida
, , etc.
-
- Essas oscilações e saltos mostram que o método não converge para uma raiz real (porque não existe raiz real).
Passo 5
Implicação prática para a sua prova e como proceder:
- Se o enunciado está exatamente escrito como
, a resposta correta é que não existe raiz real — portanto não há valor real a ser encontrado com Newton. - Se no enunciado havia um erro de impressão (por exemplo, se a intenção era
ou em vez de ), aí a situação muda: para ou pode existir raiz real e Newton poderia ser aplicado. Nesse caso, deve-se resolver novamente com a função correta (mas eu não vou supor isso sem que esteja escrito). - Em resumo: primeiro sempre verificar existência de raiz; aqui a verificação mostra que não há raiz real.
Resposta
Não existe raiz real.