Calcule uma raiz da funçīo f(x)=4 \cos x-e^{2} utilizando o método de Newton. Considere x_{0}=1. critério de parada erro relativo e toleraincia \varepsilon<10^{-2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular uma raiz da função f(x)=4\cos x - e^{2} usando o método de Newton, com aproximação inicial x_{0}=1, e critério de parada baseado em erro relativo menor que \varepsilon=10^{-2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=4\cos x - e^{2}.
  • Ponto inicial: x_{0}=1.
  • Critério de parada: erro relativo \displaystyle\frac{|x_{n+1}-x_{n}|}{|x_{n+1}|}<10^{-2}.
  • Valor numérico aproximado de e^{2} (útil): e^{2}\approx 7{,}38905609893.

Passo 2

O que é o método de Newton (explicação didática, sem pular etapas):
  • Objetivo do método: encontrar uma raiz real de uma função f(x), ou seja um x tal que f(x)=0.
  • Passo iterativo (fórmula): a partir de uma aproximação x_{n} calcula-se
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f.
  • Intuição simples: aproximamos f por sua reta tangente em x_{n} e tomamos a abscissa da interseção dessa reta com o eixo x.
  • Critério de parada usado aqui: erro relativo entre iterações sucessivas,
\text{erro relativo}=\frac{|x_{n+1}-x_{n}|}{|x_{n+1}|},
e paramos quando esse valor ficar menor que \varepsilon=10^{-2}.
Aplicando ao nosso f:
  • Derivada de f(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4\cos x - e^{2}\bigr) = -4\sin x.
(Na derivada e^{2} é uma constante, sua derivada é zero.)
  • Portanto a iteração de Newton fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{4\cos x_{n}-e^{2}}{-4\sin x_{n}} = x_{n} + \frac{4\cos x_{n}-e^{2}}{4\sin x_{n}}.

Passo 3

Antes de executar iterações, é obrigatório checar se existe raiz real — isso evita perder tempo tentando achar algo que não existe.
Observação sobre os valores possíveis de 4\cos x:
  • Sabemos que \cos x toma valores no intervalo [-1,1] para todo x\in\mathbb{R}.
  • Então 4\cos x\in[-4,4] para todo x\in\mathbb{R}.
Agora compare com e^{2}:
  • Numericamente e^{2}\approx 7{,}38905609893.
  • Como 4\cos x\le 4 sempre, temos para todo x
f(x)=4\cos x - e^{2} \le 4 - e^{2}.
  • Como 4 - e^{2}\approx 4-7{,}389056\approx -3{,}389056<0, concluímos que f(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão importante (passo crítico, explicado devagar):
  • Se f(x)<0 para todo x, então não existe x real tal que f(x)=0. Ou seja, a equação 4\cos x - e^{2}=0 não tem solução real.
  • Portanto não há raiz real a ser encontrada pelo método de Newton no conjunto dos números reais.
(Comentário didático: antes de aplicar um método numérico sempre verifique existência de solução no domínio considerado. Aqui a verificação é simples porque usamos o fato que \cos x está limitado entre -1 e 1.)

Passo 4

O que acontece se mesmo assim tentarmos iterar numericamente (ilustração do porquê não faz sentido):
  • Como f(x) é sempre negativo, o método de Newton, ao procurar uma interseção com o eixo x da tangente, tende a “puxar” as iterações para valores onde a tangente cruza o eixo — mas não existe cruzamento real de f com o eixo, então as iterações não têm um alvo real fixo e podem oscilar ou divergir.
  • Exemplo de poucas iterações numéricas (apenas ilustrativas, números arredondados):
    • x_{0}=1.
    • Calculando f(1)=4\cos 1 - e^{2}\approx -5{,}2278469 e f'(1)=-4\sin 1\approx -3{,}3658839, obtemos x_{1}\approx -0{,}55319.
    • A iteração seguinte dá x_{2}\approx 1{,}34216.
    • Em seguida x_{3}\approx -0{,}32134, x_{4}\approx 2{,}52446, etc.
  • Essas oscilações e saltos mostram que o método não converge para uma raiz real (porque não existe raiz real).

Passo 5

Implicação prática para a sua prova e como proceder:
  • Se o enunciado está exatamente escrito como f(x)=4\cos x - e^{2}, a resposta correta é que não existe raiz real — portanto não há valor real a ser encontrado com Newton.
  • Se no enunciado havia um erro de impressão (por exemplo, se a intenção era 4\cos x - e^{2x} ou 4\cos x - e^{x} em vez de e^{2}), aí a situação muda: para e^{2x} ou e^{x} pode existir raiz real e Newton poderia ser aplicado. Nesse caso, deve-se resolver novamente com a função correta (mas eu não vou supor isso sem que esteja escrito).
  • Em resumo: primeiro sempre verificar existência de raiz; aqui a verificação mostra que não há raiz real.

Resposta

Não existe raiz real.

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