Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função f(x)=x-\sqrt{2+x} Considere x_{5}=2.5, critério de parada erro absoluto e tolerància \varepsilon \leq 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede para, usando o método do ponto fixo, determinar a raiz positiva da função f(x)=x-\sqrt{2+x}. Dados e condições fornecidas:
  • A função: f(x)=x-\sqrt{2+x}.
  • Devemos usar o método do ponto fixo.
  • Foi nos dado \(x_{5}=2,5) (ou seja, a iteração atual/partida é x_{5}=2,5).
  • Critério de parada: erro absoluto com tolerância \varepsilon \leq 10^{-3}. Aqui vamos interpretar o erro absoluto como \left|x_{n+1}-x_n\right| (diferença entre iterações sucessivas).
  • Queremos a raiz positiva (ou seja, o valor x>0 tal que f(x)=0).

Passo 2

Transformação para ponto fixo e escolha de g.
A equação f(x)=0 é
x-\sqrt{2+x}=0,
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x=\sqrt{2+x}.
Definimos, portanto, a função de iteração
g(x)=\sqrt{2+x}.
Explicação curta do porquê: o método do ponto fixo busca x tal que x=g(x). A reescrita acima coloca a equação nessa forma. Não inventamos outra forma porque \sqrt{2+x} é a forma natural e mantém domínio adequado para a raiz positiva.
Domínio: para \sqrt{2+x} faz sentido precisamos de 2+x\ge 0, isto é x\ge -2. A raiz positiva que procuramos está no domínio.
Verificação de convergência local (intuição/condição prática): calculemos a derivada
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+x}}.
No ponto candidato x=2 (que mais tarde veremos ser a raiz exata), temos
g'(2)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}=0,25.
Como |g'(2)|<1, g é localmente contratora perto de 2; isso indica que a iteração por g converge para a raiz se iniciarmos razoavelmente perto. Nosso x_{5}=2,5 está perto de 2, então a escolha de g é adequada.
Observação prática: para garantir formalmente a convergência por Banach precisamos de um intervalo I contendo a raiz e a estimativa inicial tal que \max_{x\in I}|g'(x)|<1. Por exemplo, no intervalo I=[1,3] temos |g'(x)|\le \tfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,2887<1, e x_{5}=2,5\in I. Bom sinal — podemos iterar com segurança.

Passo 3

Fórmula de iteração e critério de parada.
Regra de iteração:
x_{n+1}=g(x_n)=\sqrt{2+x_n}.
Critério de parada (usado aqui): parar quando
\left|x_{n+1}-x_n\right|\le 10^{-3}.
Dado inicial (fornecido): x_{5}=2,5. Vamos calcular x_6,x_7,\dots até que a diferença entre duas iterações sucessivas fique menor ou igual a 10^{-3}.
Pequena dica para calcular raízes quadradas sem calculadora: para \sqrt{S} você pode usar uma aproximação inicial a próxima de \sqrt{S} e melhorar por uma iteração do método de Newton para raiz quadrada:
\text{nova }a = a + \frac{S-a^2}{2a}.
Essa fórmula é útil para refinar uma raiz com um passo simples e foi usada aqui para justificar os valores aproximados de cada \sqrt{\cdot}.

Passo 4

Cálculo das iterações a partir de x_{5}=2,5.
Começamos em x_{5}=2,5.
  1. Calcule x_{6}:
x_{6}=\sqrt{2+x_{5}}=\sqrt{2+2,5}=\sqrt{4,5}=2,1213203435596424\approx 2,121320344.
Diferença:
|x_{6}-x_{5}|=|2,121320344-2,5|=0,378679656>10^{-3}.
  1. Calcule x_{7}:
x_{7}=\sqrt{2+x_{6}}=\sqrt{2+2,121320344}=\sqrt{4,121320344}\approx 2,030103535.
(Derivação rápida: partimos de a=2,03 e fizemos um passo de Newton para \sqrt{4,121320344} para obter a aproximação acima.)
Diferença:
|x_{7}-x_{6}|=|2,030103535-2,121320344|=0,091216809>10^{-3}.
  1. Calcule x_{8}:
x_{8}=\sqrt{2+x_{7}}=\sqrt{2+2,030103535}=\sqrt{4,030103535}\approx 2,007510218.
(Derivação: refinei a raiz usando o passo de Newton a partir de a=2,0075.)
Diferença:
|x_{8}-x_{7}|=|2,007510218-2,030103535|=0,022593317>10^{-3}.
  1. Calcule x_{9}:
x_{9}=\sqrt{2+x_{8}}=\sqrt{2+2,007510218}=\sqrt{4,007510218}\approx 2,001876674.
Diferença:
|x_{9}-x_{8}|=|2,001876674-2,007510218|=0,005633544>10^{-3}.
  1. Calcule x_{10}:
x_{10}=\sqrt{2+x_{9}}=\sqrt{2+2,001876674}=\sqrt{4,001876674}\approx 2,000469111.
Diferença:
|x_{10}-x_{9}|=|2,000469111-2,001876674|=0,001407563>10^{-3}.
  1. Calcule x_{11}:
x_{11}=\sqrt{2+x_{10}}=\sqrt{2+2,000469111}=\sqrt{4,000469111}\approx 2,000117271.
Diferença:
|x_{11}-x_{10}|=|2,000117271-2,000469111|=0,000351840\le 10^{-3}.
Como a diferença entre x_{11} e x_{10} já é menor que a tolerância pedida 10^{-3}, paramos aqui.
Observação: a convergência foi rápida porque |g'(2)|=0,25 é pequeno — o método do ponto fixo, nesse caso, aproxima-se geometricamente com taxa aproximadamente 0,25 por iteração.

Passo 5

Interpretação do resultado e nota sobre a raiz exata.
A iteração por ponto fixo convergiu para um valor muito próximo de 2. De fato, resolvendo analiticamente x=\sqrt{2+x} obtemos, ao elevar ao quadrado,
x^2=2+x \quad\Rightarrow\quad x^2-x-2=0,
cuja solução positiva é x=2 (a outra solução é x=-1, que é a raiz negativa). Portanto a raiz positiva exata é 2. Usando o método iterativo com início em x_{5}=2,5 e o critério \left|x_{n+1}-x_n\right|\le 10^{-3}, a aproximação obtida (primeira que satisfaz o critério) foi
x_{11}\approx 2,000117271,
que difere de 2 por cerca de 1{,}17\times 10^{-4}, bem dentro da tolerância desejada.

Resposta

2,000117271

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