Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função
Considere
, critério de parada erro absoluto e tolerància
.
Passo 1
O enunciado pede para, usando o método do ponto fixo, determinar a raiz positiva da função
. Dados e condições fornecidas:
- A função:
.
- Devemos usar o método do ponto fixo.
- Foi nos dado
) (ou seja, a iteração atual/partida é
).
- Critério de parada: erro absoluto com tolerância
. Aqui vamos interpretar o erro absoluto como (diferença entre iterações sucessivas).
- Queremos a raiz positiva (ou seja, o valor
tal que ).
Passo 2
Transformação para ponto fixo e escolha de
.
A equação
é
logo
Definimos, portanto, a função de iteração
Explicação curta do porquê: o método do ponto fixo busca
tal que
. A reescrita acima coloca a equação nessa forma. Não inventamos outra forma porque
é a forma natural e mantém domínio adequado para a raiz positiva.
Domínio: para
faz sentido precisamos de
, isto é
. A raiz positiva que procuramos está no domínio.
Verificação de convergência local (intuição/condição prática): calculemos a derivada
No ponto candidato
(que mais tarde veremos ser a raiz exata), temos
Como
,
é localmente contratora perto de
; isso indica que a iteração por
converge para a raiz se iniciarmos razoavelmente perto. Nosso
está perto de
, então a escolha de
é adequada.
Observação prática: para garantir formalmente a convergência por Banach precisamos de um intervalo
contendo a raiz e a estimativa inicial tal que
. Por exemplo, no intervalo
temos
, e
. Bom sinal — podemos iterar com segurança.
Passo 3
Fórmula de iteração e critério de parada.
Regra de iteração:
Critério de parada (usado aqui): parar quando
Dado inicial (fornecido):
. Vamos calcular
até que a diferença entre duas iterações sucessivas fique menor ou igual a
.
Pequena dica para calcular raízes quadradas sem calculadora: para
você pode usar uma aproximação inicial
próxima de
e melhorar por uma iteração do método de Newton para raiz quadrada:
Essa fórmula é útil para refinar uma raiz com um passo simples e foi usada aqui para justificar os valores aproximados de cada
.
Passo 4
Cálculo das iterações a partir de
.
Começamos em
.
- Calcule
:
Diferença:
- Calcule
:
(Derivação rápida: partimos de
e fizemos um passo de Newton para
para obter a aproximação acima.)
Diferença:
Diferença:
- Calcule
:
(Derivação: refinei a raiz usando o passo de Newton a partir de
.)
Diferença:
Diferença:
- Calcule
:
Diferença:
- Calcule
:
Diferença:
- Calcule
:
Diferença:
Como a diferença entre
e
já é menor que a tolerância pedida
, paramos aqui.
Observação: a convergência foi rápida porque
é pequeno — o método do ponto fixo, nesse caso, aproxima-se geometricamente com taxa aproximadamente
por iteração.
Passo 5
Interpretação do resultado e nota sobre a raiz exata.
A iteração por ponto fixo convergiu para um valor muito próximo de
. De fato, resolvendo analiticamente
obtemos, ao elevar ao quadrado,
cuja solução positiva é
(a outra solução é
, que é a raiz negativa). Portanto a raiz positiva exata é
. Usando o método iterativo com início em
e o critério
, a aproximação obtida (primeira que satisfaz o critério) foi
que difere de
por cerca de
, bem dentro da tolerância desejada.