Calcule as integrais indefinidas:
b) integral 6 x+raiz2 xx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 6x + raiz2xx ,dx. O conteúdo envolve integração de soma de funções racionais e radical, e vamos usar manipulação de potências e a linearidade da integral.

Passo 2

Primeiro, dividimos cada termo pelo denominador x:
6x + raiz2xx = 6xx + raiz2xx = 6 + raiz2xx

Passo 3

Em seguida, simplificamos raiz2xx. Como raiz2x = raiz2,raizx, temos:
raiz2xx = raiz2,raizxx = raiz2,x^12 - 1 = raiz2,x^-12

Passo 4

Agora reescrevemos a integral usando a linearidade:
integrall(6 + raiz2,x^-tfrac12r)dx = integral 6,dx + raiz2integral x^-tfrac12,dx

Passo 5

Aplicamos a regra de potência integral x^n dx = x^n+1n+1 + C. Para n=-tfrac12 temos:
integral x^-tfrac12dx = x^-tfrac12 +1-tfrac12 +1 = x^tfrac12tfrac12 = 2,x^tfrac12
Logo o segundo termo fica raiz2times 2,x^1/2 = 2raiz2,raizx.

Passo 6

Somando tudo, obtemos:
integral 6x + raiz2xx,dx = 6x + 2raiz2,raizx + C

Resposta

6x + 2raiz2,raizx + C

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