Verifique se F1(x)=x^2-2 x, F2(x)=x^2-2 x-1 e F3(x)=(x-1)^2 são antiderivadas de f(x)=2 x-2. Faça o gráfico de F1, F2 e F3 no mesmo plano coordenado. Como se relacionam estes gráficos? Que podemos dizer sobre o gráfico de qualquer outra antiderivada de f ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções F1(x)=x^2-2x, F2(x)=x^2-2x-1 e F3(x)=(x-1)^2 são antiderivadas de f(x)=2x-2, depois traçar seus gráficos no mesmo plano e entender como esses gráficos se relacionam, estendendo a análise a qualquer outra antiderivada de f.

Passo 2

Para mostrar que cada Fi é antiderivada de f, calculamos sua derivada e conferimos se dá f(x):
ddxF1(x)=ddx(x^2-2x)=2x-2,
ddxF2(x)=ddx(x^2-2x-1)=2x-2,
ddxF3(x)=ddx((x-1)^2)=2(x-1)=2x-2
Em todos os casos a derivada é 2x-2=f(x), logo todas são antiderivadas de f.

Passo 3

Para traçar os gráficos, observe que:
F1(x)=x^2-2x+0,
F2(x)=x^2-2x-1=F1(x)-1,
F3(x)=(x-1)^2=x^2-2x+1=F1(x)+1
São parábolas com a mesma “curvatura” (coeficiente de x^2 igual) e vértice deslocado apenas por uma constante vertical. No mesmo plano elas aparecem como três cópias paralelas de uma parábola, uma unidade acima ( F3), outra na posição original ( F1) e outra uma unidade abaixo ( F2).

Passo 4

Em geral, uma antiderivada genérica de f(x)=2x-2 é
F(x)=x^2-2x+C,
onde C é constante arbitrária. O gráfico de qualquer uma dessas antiderivadas é a mesma parábola básica deslocada verticalmente em C unidades.

Resposta

As três funções são antiderivadas de f(x)=2x-2 e seus gráficos são parábolas idênticas dentre si, apenas deslocadas verticalmente. Qualquer outra antiderivada de f é F(x)=x^2-2x+C e seu gráfico também se obtém por uma translação vertical dessa parábola.

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