Verifique se
e
são antiderivadas de
. Faça o gráfico de
e
no mesmo plano coordenado. Como se relacionam estes gráficos? Que podemos dizer sobre o gráfico de qualquer outra antiderivada de
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
,
e
são antiderivadas de
, depois traçar seus gráficos no mesmo plano e entender como esses gráficos se relacionam, estendendo a análise a qualquer outra antiderivada de
.
Passo 2
Para mostrar que cada
é antiderivada de
, calculamos sua derivada e conferimos se dá
:
Em todos os casos a derivada é
, logo todas são antiderivadas de
.
Passo 3
Para traçar os gráficos, observe que:
São parábolas com a mesma “curvatura” (coeficiente de
igual) e vértice deslocado apenas por uma constante vertical. No mesmo plano elas aparecem como três cópias paralelas de uma parábola, uma unidade acima (
), outra na posição original (
) e outra uma unidade abaixo (
).
Passo 4
Em geral, uma antiderivada genérica de
é
onde
é constante arbitrária. O gráfico de qualquer uma dessas antiderivadas é a mesma parábola básica deslocada verticalmente em
unidades.
Resposta
As três funções são antiderivadas de
e seus gráficos são parábolas idênticas dentre si, apenas deslocadas verticalmente. Qualquer outra antiderivada de
é
e seu gráfico também se obtém por uma translação vertical dessa parábola.