Use o Teorema de Stokes para determinar a circulação do fluido com campo de velocidades F(x, y)=y^3 i+x^3 j em tomo da curva fechada x^2+y^2=25.

Passo 1

Neste exercício queremos usar o Teorema de Green (caso plano do Teorema de Stokes) para calcular a circulação de um campo de velocidades na curva fechada x^2+y^2=25. O campo é F(x,y)=y^3,i+x^3,j, e vamos precisar da forma diferencial P,dx+Q,dy com P=y^3 e Q=x^3, além da expressão
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 2

Identificamos as componentes do campo como P(x,y)=y^3 e Q(x,y)=x^3. Pelo Teorema de Green, a circulação é dada por
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=3x^2, partial Ppartial y=3y^2
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y=3x^2-3y^2=3(x^2-y^2)

Passo 4

Para avaliar a integral dupla, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Assim,
integral duplaD3(x^2-y^2),dA =3integral0^2piintegral0^5l(r^2cos^2theta - r^2sin^2thetar)r,dr,dtheta =3integral0^2piintegral0^5r^3cos2theta,dr,dtheta

Passo 5

Agora separamos a integral em produto de uma parte em r e outra em theta:
integral0^5r^3,dr=5^44=6254, integral0^2picos2theta,dtheta=0
Como uma das integrais vale zero, o valor total da circulação é zero.

Resposta

0

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