Calcule as integrais indefinidas:
b) integral 2 xx^2+2 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função racional 2xx^2+2x+5. O assunto aqui é integração de funções racionais e vamos precisar de completamento do quadrado, mudança de variável e uso de integrais conhecidas.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador: x^2+2x+5=(x+1)^2+4. Em seguida fazemos a substituição t=x+1, o que implica dx=dt e 2x=2(t-1).
Substituindo na integral, obtemos
integral 2xx^2+2x+5,dx =integral 2(t-1)t^2+4,dt =2integral t-1t^2+4,dt =2integral tt^2+4,dt-2integral 1t^2+4,dt

Passo 3

Agora calculamos as duas integrais separadamente: para
2integral tt^2+4,dt
fazemos a substituição u=t^2+4 ( du=2t,dt), resultando em
2integral tt^2+4,dt = lnl(t^2+4r)
e para
2integral 1t^2+4,dt
usamos a fórmula de arctan ( a=2):
2integral 1t^2+4,dt = arctanl(t2r)

Passo 4

Logo, em função de t a antiderivada fica
F(t)=lnl(t^2+4r) - arctanl(t2r)

Passo 5

Finalmente, voltando à variável original x, lembrando que t=x+1, temos
F(x)=lnl((x+1)^2+4r) - arctanl(x+12r)

Resposta

lnl((x+1)^2+4r) - arctanl(x+12r) + C

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