Calcule as integrais indefinidas:
r) integral 1(16+x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral 1(16 + x^2)^3/2,dx. Isso faz parte de integrais de funções do tipo (a^2 + x^2)^-3/2, e a técnica mais comum aqui é usar substituição trigonométrica. Vamos usar x = 4tantheta.

Passo 2

Com a substituição x = 4tantheta, temos dx = 4sec^2theta,dtheta e
16 + x^2 = 16 + 16tan^2theta = 16sec^2theta

Passo 3

Logo o integrando vira
1(16 + x^2)^3/2,dx = 1(16sec^2theta)^3/2 cdot 4sec^2theta,dtheta = 4sec^2theta(16)^3/2,(sec^2theta)^3/2,dtheta = 4sec^2theta64sec^3theta,dtheta = 116costheta,dtheta

Passo 4

Agora a integral fica
integral 116costheta,dtheta = 116integral costheta,dtheta = 116sintheta + C

Passo 5

Falta voltar para x. Como tantheta = x4, desenhando um triângulo ou usando identidade,
sintheta = xraizx^2 + 16

Passo 6

Substituindo, a integral original é
116cdot xraizx^2 + 16 + C = x16raizx^2 + 16 + C

Resposta

integral 1(16 + x^2)^3/2,dx = x16raizx^2 + 16 + C

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