Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item a ) até o item f ):
k) integral(raiz[3]x+cos ^2(5 x)) d x

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular a integral indefinida
integrall(raiz[3]x+cos^2(5x)r),dx
O conteúdo envolve integração de funções potência ( x^1/3) e de funções trigonométricas, usando identidade de potência para cos^2.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas partes e resolvemos cada uma:
integral x^1/3,dx + integral cos^2(5x),dx
Para x^1/3:
integral x^1/3,dx = x^1/3+11/3+1 = x^4/34/3 = 34x^4/3
Para cos^2(5x), usamos cos^2theta=tfrac1+cos(2theta)2:
integral cos^2(5x),dx = integral 1+cos(10x)2,dx = 12integral dx + 12integral cos(10x),dx = x2 + 12cdotsin(10x)10 = x2 + sin(10x)20
Somando e acrescentando a constante C:
F(x)=34x^4/3+x2+sin(10x)20+C

Passo 3

Para verificar, derivamos F(x):
  • ddxl(tfrac34x^4/3r)=tfrac34cdottfrac43x^1/3=x^1/3.
  • ddxl(tfracx2r)=tfrac12.
  • ddxl(tfracsin(10x)20r)=tfrac120cdot10cos(10x)=tfraccos(10x)2.
    Somando, fica
x^1/3+tfrac12+tfraccos(10x)2 = x^1/3+1+cos(10x)2 = x^1/3+cos^2(5x)
que é exatamente o integrando, então a resposta está correta.

Resposta

F(x)=\tfrac{3}{4}x^{4/3}+\tfrac{x}{2}+\tfrac{\sin(10x)}{20}+C

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