Calcule as integrais indefinidas:
c) integral(x^2+3 x)^4(4 x+6) d x

Passo 1

Temos a integral indefinida abaixo:
integral (x^2+3x)^4(4x+6),dx
O conteúdo é integração por substituição: reconhecer no integrando uma parte cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^2+3x,
logo o diferencial é
du = (2x+3),dx

Passo 3

Repare que 4x+6 = 2(2x+3), então
(4x+6),dx = 2,(2x+3),dx = 2,du
Substituindo na integral, temos
integral (x^2+3x)^4(4x+6),dx = integral u^4cdot 2,du = 2integral u^4,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
2integral u^4,du = 2cdot u^55 + C = 25u^5 + C
Voltando para x, obtemos o resultado final.

Resposta

25(x^2+3x)^5 + C

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