Determinar a solução particular das seguintes EDOs aplicando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+y^prime-2 y=tan (x)

Passo 1

O enunciado pede determinar uma solução particular para a EDO y'' + y' - 2y = tan(x) usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos precisar: achar a solução geral da homogênea, montar o Wronskiano, aplicar as fórmulas de variação de parâmetros e integrar para obter yp.

Passo 2

Começando pela parte homogênea, resolvemos y'' + y' - 2y = 0. A equação característica é r^2 + r - 2 = 0, cuja solução é r = 1 e r = -2. Logo, a solução geral homogênea é yh = C1 e^x + C2 e^-2x.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, assumimos yp = u1(x)e^x + u2(x)e^-2x. Precisamos do Wronskiano das soluções fundamentais y1=e^x e y2=e^-2x. Calculando:
W = e^x & e^-2x e^x & -2e^-2x = e^x(-2e^-2x) - e^-2x(e^x) = -3e^-x

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem:
u1' = -y2(x),g(x)W(x), nu2' = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=tan(x). Substituindo:
u1' = -e^-2xtan(x)-3e^-x = 13e^-xtan(x), nu2' = e^xtan(x)-3e^-x = -13e^2xtan(x)

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2. Como esses integrais não têm forma elementar simples, deixamos em forma de integral indefinida:
u1(x) = 13integral e^-xtan(x),dx, u2(x) = -13integral e^2xtan(x),dx

Passo 6

Finalmente, a solução particular é dada por
yp(x) = u1(x)e^x + u2(x)e^-2x = e^x3integral e^-xtan(x),dx - e^-2x3integral e^2xtan(x),dx

Resposta

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