Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime+x y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO do tipo Cauchy–Euler x^2y'' + x y' - 2y = 0. Nessas equações, cada derivada é multiplicada por uma potência de x igual à sua ordem, e o método consiste em assumir uma solução do tipo y = x^m.

Passo 2

Assumimos y = x^m. Então y' = m x^m-1 e y'' = m(m-1)x^m-2. Substituindo na EDO original, obtemos:
x^2l(m(m-1)x^m-2r) + xl(m x^m-1r) - 2x^m = 0

Passo 3

Todos os termos têm o fator x^m, que para xneq0 não é zero. Dividindo por x^m, fica a equação característica:
m(m-1) + m - 2 = 0

Passo 4

Simplificando,
m^2 - 2 = 0 ,implies, m = pmraiz2

Passo 5

Como as raízes são distintas, a solução geral é a combinação linear de x^m1 e x^m2, com m1=raiz2 e m2=-raiz2.

Resposta

y(x) = C1x^raiz2 + C2x^-raiz2

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