Calcule as integrais indefinidas:
v) integral ln (sen^2 x) sen x cos xsen^2 x d x

Passo 1

Primeiro, temos a integral integral ln(sin^2 x),sin xcos xsin^2 x,dx. O conteúdo é integração por substituição (regra da cadeia) e vamos precisar reconhecer uma derivada de ln(sin^2 x).

Passo 2

Observando que a derivada de ln(sin^2 x) é
ddxl[ln(sin^2 x)r]=2,sin xcos xsin^2 x=2cot x
concluímos que cot x,dx aparece na integral.

Passo 3

Fazendo a substituição u=ln(sin^2 x), temos
du=2cot x,dxLongrightarrowcot x,dx=du2

Passo 4

A integral passa a ser
integral ln(sin^2 x),cot x,dx=integral ucdotdu2=12integral u,du

Passo 5

A integral tfrac12integral u,du é direta e resulta em
12cdotu^22=u^24+C

Passo 6

Voltando à variável original, substituindo u=ln(sin^2 x), obtemos
14[ln(sin^2 x)]^2+C
Como adicional, usando ln(sin^2 x)=2ln|sin x|, isso equivale a (ln|sin x|)^2+C.

Resposta

14[ln(sin^2 x)]^2+ C

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