Calcule as integrais indefinidas:
c) integral 1(x^2-6 x+34)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1(x^2-6x+34)^3/2,dx. O conteúdo é técnicas de integrais que envolvem completar o quadrado e usar uma fórmula padrão de integral dt/(t^2+a^2)^3/2. Vamos precisar completar o quadrado e lembrar da antiderivada de (t^2+a^2)^-3/2.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
x^2-6x+34 = (x^2-6x+9)+25 = (x-3)^2+25

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t=x-3. Assim dt=dx e o integrando fica:
integral dx((x-3)^2+25)^3/2 = integral dt(t^2+5^2)^3/2

Passo 4

Sabendo a fórmula padrão
integral dt(t^2+a^2)^3/2 = ta^2raizt^2+a^2 + C, aplicamos com a=5:
integral dt(t^2+25)^3/2 = t25raizt^2+25 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x, lembrando que t=x-3 e raizt^2+25=raizx^2-6x+34, resultando em:
x-325raizx^2-6x+34+C

Resposta

x-325raizx^2-6x+34+C

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