Considere a integral imprópria:
integral0^1 raiz[x]ex^3 d x
Mostre que ela diverge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me mandou. A gente tem uma integral imprópria, que é essa aqui:
integral0^1 raiz[x]ex^3 , dx
O conteúdo que vamos usar pra resolver isso envolve integrais impróprias e comportamento das funções próximas aos limites de integração. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de $ x = 0 $ e ver se a integral dá certo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz de $ e $ na base $ x $ pode ser escrita como $ e^{1/x} $. Então, a integral fica:
e

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função $ \frac{e{1/x}}{x{3}} $ quando $ x $ se aproxima de 0. Isso é importante porque a integral é imprópria no limite inferior $ x = 0 $.
Quando $ x $ vai para 0, $ 1/x $ fica muito grande, então $ e^{1/x} $ cresce super rápido, muito mais rápido do que qualquer potência de $ 1/x $.

Passo 4

Para mostrar que a integral diverge, vamos comparar essa função com outra que sabemos que diverge. Sabemos que:
e^1/x >= 1x^2 para todo x in (0,1)
Então,
e^1/xx^3 >= 1x^5

Passo 5

Agora, consideramos a integral de comparação:
integral0^1 1x^5 , dx
Sabemos que:
integral0^1 1x^n , dx
diverge se $ n \geq 1 $. No nosso caso, $ n = 5 $, que é maior que 1, então essa integral também diverge.

Passo 6

Como a função $ \frac{e{1/x}}{x{3}} $ é maior ou igual a $ \frac{1}{x^{5}} $ e a integral de $ \frac{1}{x^{5}} $ diverge, então, pela comparação, a integral original também diverge.

Resposta

A integral $ \int_{0}^{1} \frac{\sqrt[x]{e}}{x^{3}} , dx $ diverge.

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