Considere a integral imprópria:
Mostre que ela diverge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me mandou. A gente tem uma integral imprópria, que é essa aqui:
O conteúdo que vamos usar pra resolver isso envolve integrais impróprias e comportamento das funções próximas aos limites de integração. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de $ x = 0 $ e ver se a integral dá certo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz de $ e $ na base $ x $ pode ser escrita como $ e^{1/x} $. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função $ \frac{e{1/x}}{x{3}} $ quando $ x $ se aproxima de 0. Isso é importante porque a integral é imprópria no limite inferior $ x = 0 $.
Quando $ x $ vai para 0, $ 1/x $ fica muito grande, então $ e^{1/x} $ cresce super rápido, muito mais rápido do que qualquer potência de $ 1/x $.
Passo 4
Para mostrar que a integral diverge, vamos comparar essa função com outra que sabemos que diverge. Sabemos que:
Então,
Passo 5
Agora, consideramos a integral de comparação:
Sabemos que:
diverge se $ n \geq 1 $. No nosso caso, $ n = 5 $, que é maior que 1, então essa integral também diverge.
Passo 6
Como a função $ \frac{e{1/x}}{x{3}} $ é maior ou igual a $ \frac{1}{x^{5}} $ e a integral de $ \frac{1}{x^{5}} $ diverge, então, pela comparação, a integral original também diverge.
Resposta
A integral $ \int_{0}^{1} \frac{\sqrt[x]{e}}{x^{3}} , dx $ diverge.