Considere a integral imprópria:
Mostre que ela converge para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar integração por partes e entender um pouco sobre funções trigonométricas inversas, como o arco-tangente (
). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é
, então é uma integral imprópria.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 4
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 5
Calculando
:
Agora, vamos integrar
para encontrar
.
Passo 6
Integrando
:
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Então:
Passo 7
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos calcular a integral:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 9
Agora, juntando tudo e simplificando, temos que a antiderivada da nossa função é:
Agora, precisamos avaliar essa expressão no intervalo de
a
.
Passo 10
Vamos calcular o limite quando
tende a
:
-
tende a -
tende a -
também tende a
Portanto, a expressão na fronteira superior é:
Agora, para
:
Portanto, a expressão na fronteira inferior é
.
Resposta
A integral imprópria converge para
.