Considere a integral imprópria:
integral0^+infty x arctan x(1+x^2)^2 d x
Mostre que ela converge para pi / 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
integral0^+infty x arctan x(1+x^2)^2 , dx
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar integração por partes e entender um pouco sobre funções trigonométricas inversas, como o arco-tangente ( arctan x). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é +infty, então é uma integral imprópria.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivada e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 4

Vamos definir:
u = arctan x e dv = x(1 + x^2)^2 , dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 5

Calculando du:
u = arctan x Rightarrow du = 11 + x^2 , dx
Agora, vamos integrar dv para encontrar v.

Passo 6

Integrando dv:
dv = x(1 + x^2)^2 , dx
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja w = 1 + x^2, então dw = 2x , dx ou x , dx = dw2. Então:
v = integral x(1 + x^2)^2 , dx = integral 12w^2 , dw = -12w + C = -12(1 + x^2)

Passo 7

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x arctan x(1 + x^2)^2 , dx = arctan x (-12(1 + x^2)) - integral (-12(1 + x^2)) cdot 11 + x^2 , dx
Simplificando:
= -arctan x2(1 + x^2) + 12 integral 1(1 + x^2)^2 , dx

Passo 8

Agora, precisamos calcular a integral:
integral 1(1 + x^2)^2 , dx
Sabemos que:
integral 1(1 + x^2)^2 , dx = x2(1 + x^2) + 12 arctan x + C
Portanto:
-arctan x2(1 + x^2) + 12 ( x2(1 + x^2) + 12 arctan x ) + C

Passo 9

Agora, juntando tudo e simplificando, temos que a antiderivada da nossa função é:
-arctan x2(1 + x^2) + x4(1 + x^2) + 14 arctan x + C
Agora, precisamos avaliar essa expressão no intervalo de 0 a +infty.

Passo 10

Vamos calcular o limite quando x tende a +infty:
  • arctan x tende a pi2
  • 11 + x^2 tende a 0
  • x1 + x^2 também tende a 0
Portanto, a expressão na fronteira superior é:
-pi22 cdot infty + 04 + 14 cdot pi2 = 0 + 0 + pi8 = pi8
Agora, para x = 0:
  • arctan 0 = 0
  • x1 + x^2 = 0
Portanto, a expressão na fronteira inferior é 0.

Resposta

A integral imprópria converge para dfracpi8.

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