Encontre f(x), sabendo que f^prime prime(x)=x^3+sen x+cos x+1, f^prime(0)=1 e f(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá que a segunda derivada de f é f''(x)=x^3+sin x+cos x+1, e temos as condições f'(0)=1 e f(0)=2. O conteúdo aqui é integração de derivadas sucessivas, então vamos precisar integrar duas vezes e depois usar as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Para encontrar f'(x), integramos f''(x). Lembrando as integrais básicas: integral x^3,dx=tfracx^44, integralsin x,dx=-cos x, integralcos x,dx=sin x e integral1,dx=x. Assim,
f'(x)=integral f''(x),dx=integrall(x^3+sin x+cos x+1r)dx=x^44-cos x+sin x+x+C1

Passo 3

Agora aplicamos a condição f'(0)=1. Substituindo x=0 em f'(x):
f'(0)=0^44-cos0+sin0+0+C1=-1+0+C1=C1-1

Passo 4

Daqui C1-1=1, logo C1=2. Portanto
f'(x)=x^44-cos x+sin x+x+2

Passo 5

Agora integramos f'(x) para obter f(x). Usamos integral x^4/4,dx= x^5/20, integral(-cos x)dx=-sin x, integralsin x,dx=-cos x, integral x,dx=x^2/2 e integral2,dx=2x. Assim,
f(x)=x^520-sin x-cos x+x^22+2x+C2

Passo 6

Finalmente, usamos f(0)=2. Substituindo x=0:
f(0)=-0-sin0-cos0+0+0+C2=-1+C2

Passo 7

Temos -1+C2=2, então C2=3.

Resposta

f(x)=x^520-sin x-cos x+x^22+2x+3

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