Calcule as integrais indefinidas:
d) integral x^3+2 x+1(2 x+1)(x^2-2 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3+2x+1(2x+1)(x^2-2x+2),dx. O conteúdo principal é decompor uma função racional cujo numerador e denominador têm o mesmo grau, usando divisão de polinômios e frações parciais, e depois integrar logaritmos e arco-tangente.

Passo 2

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, fazemos a divisão de x^3+2x+1 por (2x+1)(x^2-2x+2)=2x^3-3x^2+2x+2. O quociente é tfrac12 e o resto é tfrac32x^2+x. Logo,

Passo 3

Agora decomponho tfractfrac32x^2+x(2x+1)(x^2-2x+2) em frações parciais:

Passo 4

Multiplicando e igualando coeficientes em

Passo 5

obtemos o sistema

Passo 6

Resolvendo, A=-tfrac126, B=tfrac1013 e C=tfrac113.

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

A primeira parte dá x/2. A segunda parte dá -tfrac126cdottfrac12ln|2x+1| = -tfrac152ln|2x+1|.
Na última integral, escrevemos

Passo 9

pois ddx(x^2-2x+2)=2(x-1). Então

Passo 10

Somando tudo, chegamos à forma final da primitiva.

Resposta

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