Resolva:
y^prime prime+4 y^prime=2 cos (2 x)+x+1

Passo 1

A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não homogênea:
y'' + 4y' = 2cos(2x) + x + 1
Vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
r^2 + 4r = 0 implies r(r + 4)=0 implies r=0,;-4
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2 e^-4x

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o segundo membro é soma de um termo trigonométrico e um polinomial de grau 1, fazemos o palpite
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) + a x^2 + b x
Observação: o termo constante ressoa com a raiz zero, por isso elevamos o polinômio de grau 1 em um grau e obtemos ax^2 + bx.

Passo 4

Calculamos derivadas e substituímos em y'' + 4y':
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) + 2a x + b
yp'' = -4Acos(2x) -4Bsin(2x) + 2a
Então
yp'' + 4yp' = (-4A+8B)cos(2x) + (-4B-8A)sin(2x) + 8a x + (2a+4b)
Igualando ao segundo membro 2cos(2x) + x +1 obtemos o sistema
-4A + 8B = 2 -4B - 8A = 0 8a = 1 2a + 4b = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação a=1/8.
Da quarta 2(1/8)+4b=1 resulta b=3/16.
Da segunda -4B-8A=0 temos B=-2A.
Substituindo na primeira -4A+8(-2A)=2 -20A=2 e A=-1/10, logo B=1/5.
Portanto
yp(x) = -tfrac110cos(2x) + tfrac15sin(2x) + tfracx^28 + tfrac3x16
A solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-4x - tfrac110cos(2x) + tfrac15sin(2x) + tfracx^28 + tfrac3x16

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