Resolva:
y^prime prime-2 y^prime-8=0

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 8 = 0
Isso é um EDO linear não-homogênea de segunda ordem. Vamos usar dois ingredientes: a solução geral da homogênea (via equação característica) e um método de coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea associada, que é
y'' - 2y' = 0
Escrevendo a equação característica temos
r^2 - 2r = 0 ,Longrightarrow, r(r - 2) = 0
Logo as raízes são r1 = 0 e r2 = 2. Daí a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^0x + C2 e^2x = C1 + C2 e^2x

Passo 3

Para a solução particular yp da EDO completa, o termo não-homogêneo é a constante 8. Normalmente a gente tenta yp = A, mas como e^0x=1 já faz parte de yh, precisamos multiplicar por x. Então propomos
yp(x) = A x
Derivando temos
yp' = A,
yp'' = 0
Substituindo em y'' - 2y' - 8 = 0
0 - 2A - 8 = 0
Logo
-2A = 8 Longrightarrow A = -4
Então
yp(x) = -4x

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular, ou seja
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^2x - 4x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^2x - 4x

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