Resolva:
Passo 1
A questão pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
Isso é um EDO linear não-homogênea de segunda ordem. Vamos usar dois ingredientes: a solução geral da homogênea (via equação característica) e um método de coeficientes a determinar para a parte particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea associada, que é
Escrevendo a equação característica temos
Logo as raízes são
e
. Daí a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
da EDO completa, o termo não-homogêneo é a constante
. Normalmente a gente tenta
, mas como
já faz parte de
, precisamos multiplicar por
. Então propomos
Derivando temos
Substituindo em
dá
Logo
Então
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular, ou seja