Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogeneia
o conteúdo é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos precisar de: 1) solução geral da equação homogênea associada, 2) um palpite de solução particular por coeficientes a determinar e 3) soma das duas.
Passo 2
Começamos encontrando a solução da parte homogênea. Assumimos
e obtemos a equação característica:
Resolvendo para
Portanto
Passo 3
Para a solução particular, notamos que o lado direito é soma de um polinômio de grau 2 e
. Fazemos o palpite:
Aqui não multiplicamos por potências de
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Separamos os termos polinomiais e exponenciais.
Passo 5
Para os termos polinomiais temos:
e para os exponenciais:
Somando tudo, exige-se igualdade a
.
Passo 6
Igualando coeficientes polinomiais:
De :
⇒
.
De :
⇒
⇒
⇒
.
Constante: ⇒
⇒
⇒
.
De
De
Constante:
Passo 7
Igualando o termo exponencial:
⇒
.
Assim a solução particular é
Assim a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
y(x) = C_1 e^{(-1+\sqrt5)x} + C_2 e^{(-1-\sqrt5)x} - \tfrac14 x^2 - \tfrac32 x - \tfrac78 - e^x