Resolva:
y^prime prime+2 y^prime-4 y=x^2+5 x+e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogeneia
y'' + 2y' - 4y = x^2 + 5x + e^x,
o conteúdo é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos precisar de: 1) solução geral da equação homogênea associada, 2) um palpite de solução particular por coeficientes a determinar e 3) soma das duas.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da parte homogênea. Assumimos yh = e^rx e obtemos a equação característica:
r^2 + 2r - 4 = 0
Resolvendo para r temos
r = -2 pm raiz4 + 162 = -1 pm raiz5
Portanto
yh = C1 e^(-1+raiz5)x + C2 e^(-1-raiz5)x

Passo 3

Para a solução particular, notamos que o lado direito é soma de um polinômio de grau 2 e e^x. Fazemos o palpite:
yp = ax^2 + bx + c + d e^x
Aqui não multiplicamos por potências de x extras para o termo e^x porque r=1 não é raiz da característica.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 2ax + b + d e^x,
yp'' = 2a + d e^x
Substituímos na equação diferencial:
yp'' + 2yp' - 4yp = (2a + d e^x) + 2(2ax + b + d e^x) - 4(ax^2 + bx + c + d e^x)
Separamos os termos polinomiais e exponenciais.

Passo 5

Para os termos polinomiais temos:
2a + 4ax + 2b - 4ax^2 - 4bx - 4c,
e para os exponenciais:
d e^x + 2d e^x - 4d e^x = -d e^x
Somando tudo, exige-se igualdade a x^2 + 5x + e^x.

Passo 6

Igualando coeficientes polinomiais:
De x^2: -4a = 1 a = -tfrac14.
De x: 4a - 4b = 5 4(-tfrac14) - 4b = 5 -1 - 4b = 5 b = -tfrac32.
Constante: 2a + 2b - 4c = 0 2(-tfrac14) + 2(-tfrac32) - 4c = 0 -tfrac12 - 3 - 4c = 0 c = -tfrac78.

Passo 7

Igualando o termo exponencial: -d = 1 d = -1.
Assim a solução particular é
yp = -tfrac14 x^2 - tfrac32 x - tfrac78 - e^x

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^(-1+raiz5)x + C2 e^(-1-raiz5)x - tfrac14 x^2 - tfrac32 x - tfrac78 - e^x

Resposta

y(x) = C_1 e^{(-1+\sqrt5)x} + C_2 e^{(-1-\sqrt5)x} - \tfrac14 x^2 - \tfrac32 x - \tfrac78 - e^x

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