Calcule as integrais indefinidas:
d) integral 3 x+1(x^2-4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função racional dfrac3x+1(x^2-4)^2. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos precisar usar dois truques principais: reconhecimento de parte do numerador como derivada do denominador (para aplicação de substituição) e decomposição em frações parciais (para a parte que sobra).

Passo 2

Repare que a derivada de x^2-4 é 2x. Podemos tentar escrever o numerador 3x+1 na forma Acdot(2x)+B. Assim, queremos 3x+1 = 2A x + B, o que dá o sistema
2A = 3, B = 1
Logo A=tfrac32 e B=1.

Passo 3

Com essa decomposição dividimos a integral em duas partes:
integral 3x+1(x^2-4)^2,dx = 32integral 2x(x^2-4)^2,dx + integral 1(x^2-4)^2,dx

Passo 4

Para a primeira integral usamos substituição. Seja u = x^2-4, então du = 2x,dx. Logo
32integral 2x(x^2-4)^2,dx = 32integral duu^2 = 32l(-1ur) = -32(x^2-4)

Passo 5

A segunda integral é
integral 1(x^2-4)^2,dx = integral 1(x-2)^2(x+2)^2,dx
Fazemos frações parciais na forma
1(x-2)^2(x+2)^2 = Ax-2+B(x-2)^2+Cx+2+D(x+2)^2
Determinando coeficientes por valores especiais e comparação de coeficientes, encontra-se:
A=-tfrac132, ;B=tfrac116, ;C=tfrac132, ;D=tfrac116

Passo 6

Agora integramos cada termo separado:
integral Ax-2,dx = Aln|x-2|, integral B(x-2)^2,dx = -Bx-2,
idem para x+2. Assim
integral 1(x^2-4)^2,dx = -132ln|x-2| - 116(x-2) + 132ln|x+2| - 116(x+2) + C

Passo 7

Somando as duas partes e agrupando termos racionais, obtemos a forma final:
integral 3x+1(x^2-4)^2,dx = -x+128(x^2-4) + 132lnl|x+2x-2r| + C

Resposta

-\frac{x+12}{8(x^2-4)} + \frac{1}{32}\ln\left|\frac{x+2}{x-2}\right| + C

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