Calcule as integrais indefinidas:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função racional
. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos precisar usar dois truques principais: reconhecimento de parte do numerador como derivada do denominador (para aplicação de substituição) e decomposição em frações parciais (para a parte que sobra).
Passo 2
Repare que a derivada de
é
. Podemos tentar escrever o numerador
na forma
. Assim, queremos
, o que dá o sistema
Logo
e
.
Passo 3
Com essa decomposição dividimos a integral em duas partes:
Passo 4
Para a primeira integral usamos substituição. Seja
, então
. Logo
Passo 5
A segunda integral é
Fazemos frações parciais na forma
Determinando coeficientes por valores especiais e comparação de coeficientes, encontra-se:
Passo 6
Agora integramos cada termo separado:
idem para
. Assim
Passo 7
Somando as duas partes e agrupando termos racionais, obtemos a forma final:
Resposta
-\frac{x+12}{8(x^2-4)} + \frac{1}{32}\ln\left|\frac{x+2}{x-2}\right| + C