Para a circunferência x^2+y^2=r^2, mostre que a reta tangente em todo ponto ( x1, y1) da curva é perpendicular à reta que passa por ( x1, y1) e pelo centro da circunferência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a circunferência x^2+y^2=r^2, a reta tangente em um ponto (x1,y1) é perpendicular ao raio que une esse ponto ao centro (0,0). Vamos usar cálculo diferencial (derivação implícita) para encontrar o coeficiente angular da tangente e comparar com o do raio.

Passo 2

Derivando implicitamente a equação da circunferência x^2+y^2=r^2 em relação a x, obtemos:
2x + 2y,y' = 0
Isolando y', temos o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto:
y' = -xy
Substituindo x=x1 e y=y1, o coeficiente angular da tangente é mt = -tfracx1y1.

Passo 3

O coeficiente angular da reta que passa por (0,0) e (x1,y1) é dado por mr = tfracy1-0x1-0 = tfracy1x1. Calculamos o produto dos coeficientes angulares:
mt cdot mr = l(-x1y1r) cdot y1x1 = -1

Resposta

Como o produto dos coeficientes angulares é -1, concluímos que a reta tangente é perpendicular ao raio que passa por (x1,y1).

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