Para a circunferência
, mostre que a reta tangente em todo ponto (
) da curva é perpendicular à reta que passa por (
) e pelo centro da circunferência.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para a circunferência
, a reta tangente em um ponto
é perpendicular ao raio que une esse ponto ao centro
. Vamos usar cálculo diferencial (derivação implícita) para encontrar o coeficiente angular da tangente e comparar com o do raio.
Passo 2
Derivando implicitamente a equação da circunferência
em relação a
, obtemos:
Isolando
, temos o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto:
Substituindo
e
, o coeficiente angular da tangente é
.
Passo 3
O coeficiente angular da reta que passa por
e
é dado por
. Calculamos o produto dos coeficientes angulares:
Resposta
Como o produto dos coeficientes angulares é
, concluímos que a reta tangente é perpendicular ao raio que passa por
.