Nos Exercícios de 29 a 32, considere y como a variável independente e ache d xd y.
x^3 y+2 y^4-x^4=0

Passo 1

Temos a equação implícita x^3 y + 2 y^4 - x^4 = 0. O conteúdo é derivação implícita, e vamos precisar aplicar regra do produto e regra da cadeia para diferenciar em relação a y, considerando x como função de y.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a y: para x^3 y usamos a regra do produto, obtendo
ddy(x^3 y)=x^3ddy(y) + yddy(x^3)=x^3 + ycdot 3 x^2 dxdy
Para 2y^4:
ddy(2y^4) = 8y^3
Para -x^4:
ddy(-x^4)=-4x^3dxdy

Passo 3

Somando todas as derivadas e igualando a zero, temos
x^3 + 3 x^2 y dxdy + 8y^3 - 4 x^3 dxdy = 0
A seguir, agrupamos os termos que contêm dxdy:
(3 x^2 y - 4 x^3)dxdy + x^3 + 8y^3 = 0

Passo 4

Isolando dxdy, obtemos
dxdy = -x^3 + 8y^33 x^2 y - 4 x^3
Podemos simplificar fatorando x^2 no denominador e mudando sinal:
dxdy = x^3 + 8y^3x^2(4x - 3y)

Resposta

dxdy = x^3 + 8y^3x^2(4x - 3y)

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