Calcule as integrais indefinidas:
d) integral x+59 x^2+6 x+17 d x

Passo 1

Você precisa calcular a integral indefinida integral x+59x^2+6x+17,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, usando decomposição do numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completando o quadrado para obter uma arctan.

Passo 2

Observe que o denominador é D(x)=9x^2+6x+17 e sua derivada é D'(x)=18x+6=6(3x+1). Vamos escrever o numerador x+5 como A(3x+1)+B. Igualando:

Então, comparando coeficientes, temos

Passo 3

Com isso separamos a integral:
integral x+5D(x),dx =integral 13(3x+1)+143D(x),dx =13integral 3x+1D(x),dx+143integral 1D(x),dx

Passo 4

Na primeira parte use que 3x+1=tfrac16D'(x). Logo:
integral 3x+1D(x),dx =16integral D'(x)D(x),dx =16lnl|D(x)r|+C1 =16ln(9x^2+6x+17)+C1

Passo 5

Na segunda parte completamos o quadrado em D(x):
9x^2+6x+17 =9l(x^2+23xr)+17 =9l(x+tfrac13r)^2+16

Passo 6

Então
integral 1D(x),dx =integral 19(x+tfrac13)^2+16,dx =19integral 1(x+tfrac13)^2+(tfrac43)^2,dx =112arctan!l(x+tfrac134/3r)+C2 =112arctan!l(3x+14r)+C2

Passo 7

Multiplicando pela constante tfrac143 e somando tudo, obtemos a integral completa.

Resposta

118ln(9x^2+6x+17)+718arctan!l(3x+14r)+C

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