Considere a função f(x)=ln (x+3) :
a) Determine o domínio e a imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com uma função logarítmica, especificamente $ f(x) = \ln(x + 3) $. O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio e a imagem dessa função. Isso faz parte do tópico de Funções Logarítmicas na matemática. Vamos precisar entender o que significa domínio e imagem para funções, e como aplicar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso do logaritmo natural, $ \ln(z) $, o argumento $ z $ tem que ser maior que zero porque o logaritmo de números não positivos não existe nos números reais.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função $ f(x) = \ln(x + 3) $, o argumento do logaritmo é $ x + 3 $. Então, precisamos que:
f(x) = ln(x + 3)
Isso é para garantir que o logaritmo seja definido.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o domínio:
x + 3 > 0 x > -3
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que -3.

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Para a função logarítmica $ \ln(z) $, quando $ z $ varia de 0 a positivo infinito, $ \ln(z) $ percorre todos os números reais possíveis, ou seja, de f(x) a ln(z) .

Passo 6

Aplicando isso à nossa função $ f(x) = \ln(x + 3) $, já que $ x + 3 > 0 $, $ \ln(x + 3) $ também pode assumir qualquer valor real. Portanto, a imagem da função é todos os números reais.

Resposta

O domínio da função $ f(x) = \ln(x + 3) $ é $ x > -3 $ e a imagem é todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.

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