Calcule as integrais indefinidas:
m) integral 1-xx^2+3 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1 - xx^2 + 3x + 2,dx. Isso é uma integral de função racional, e vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:\
x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)

Passo 3

Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais: \
1 - x(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2) obtemos
1 - x = A(x+2) + B(x+1)

Passo 4

Expandindo o lado direito, temos
A(x+2) + B(x+1) = (A + B)x + (2A + B)
Comparando coeficientes com 1 - x = -1cdot x + 1, obtemos o sistema
A + B = -1, 2A + B = 1
Da primeira equação B = -1 - A. Substituindo na segunda:
2A + (-1 - A) = 1 implies A - 1 = 1 implies A = 2,
e então B = -1 - 2 = -3.

Passo 5

Com A=2 e B=-3, reescrevemos a integral:
integral 1 - xx^2 + 3x + 2,dx = integral l(2x+1 - 3x+2r),dx
Agora integramos cada termo separadamente:
2integral dxx+1 - 3integral dxx+2 = 2lnlvert x+1rvert - 3lnlvert x+2rvert + C

Resposta

2\ln\lvert x+1\rvert - 3\ln\lvert x+2\rvert + C

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