Calcule as integrais indefinidas e encontre a constante a partir do valor inicial:
A aceleração de um móvel em função do tempo é dada por
, em que
está em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. Em
, a velocidade é
e a posição do móvel é
. Determine a posição e a velocidade do móvel em
.
A aceleração de um móvel em função do tempo é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as integrais indefinidas da aceleração para encontrar a velocidade e a posição de um móvel em determinado tempo. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, e aplicar condições iniciais para encontrar as constantes das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da aceleração: $ a(t) = 2 - 6t $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular a integral indefinida da aceleração para encontrar a velocidade:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Sabemos que em $ t = 4 $ segundos, a velocidade $ v = 4 $ m/s. Vamos substituir esses valores na equação da velocidade para encontrar $ C $:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que vamos determinar com a condição inicial da posição.
Passo 6
Sabemos que em $ t = 4 $ segundos, a posição $ x = 1 $ metro. Vamos substituir esses valores na equação da posição para encontrar $ D $:
Então, a expressão da posição fica:
Passo 7
Agora que temos as expressões de $ v(t) $ e $ x(t) $, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo $ t = 6 $ segundos.
Primeiro, a velocidade:
Agora, a posição:
Resposta
Em $ t = 6 $ segundos, a velocidade do móvel é $ v = -52 , m/s $ e a posição é $ x = -43 , m $.