Calcule as integrais indefinidas e encontre a constante a partir do valor inicial:
A aceleração de um móvel em função do tempo é dada por a=2-6 t, em que a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t=4, a velocidade é v=4 e a posição do móvel é x=1. Determine a posição e a velocidade do móvel em t=6,00 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as integrais indefinidas da aceleração para encontrar a velocidade e a posição de um móvel em determinado tempo. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, e aplicar condições iniciais para encontrar as constantes das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da aceleração: $ a(t) = 2 - 6t $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a integral indefinida da aceleração para encontrar a velocidade:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (2 - 6t) , dt
Integrando termo a termo:
v(t) = 2t - 3t^2 + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Sabemos que em $ t = 4 $ segundos, a velocidade $ v = 4 $ m/s. Vamos substituir esses valores na equação da velocidade para encontrar $ C $:
t = 4
v = 4
C
4 = 2(4) - 3(4)^2 + C
4 = 8 - 48 + C
Então, a expressão da velocidade fica:
4 = -40 + C

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo:
x(t)
Integrando termo a termo:
x(t) = integral v(t) , dt = integral (2t - 3t^2 + 44) , dt
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que vamos determinar com a condição inicial da posição.

Passo 6

Sabemos que em $ t = 4 $ segundos, a posição $ x = 1 $ metro. Vamos substituir esses valores na equação da posição para encontrar $ D $:
t = 4
x = 1
D
1 = (4)^2 - (4)^3 + 44(4) + D
1 = 16 - 64 + 176 + D
Então, a expressão da posição fica:
1 = 128 + D

Passo 7

Agora que temos as expressões de $ v(t) $ e $ x(t) $, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo $ t = 6 $ segundos.
Primeiro, a velocidade:
v(t)
x(t)
t = 6
Agora, a posição:
v(6) = 2(6) - 3(6)^2 + 44
v(6) = 12 - 108 + 44
v(6) = -52 , m/s

Resposta

Em $ t = 6 $ segundos, a velocidade do móvel é $ v = -52 , m/s $ e a posição é $ x = -43 , m $.

Exercícios relacionados