Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
dd x[raizx^3+5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada de raizx^3+5 e também para enunciar a fórmula de integração correspondente. Estamos trabalhando com cálculo diferencial e integral aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivação e conhecer a antiderivada (fórmula de integração) relacionada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos derivar de uma forma mais fácil de trabalhar. Sabemos que raizx^3+5 é o mesmo que (x^3+5)^12.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta como f(g(x)), a derivada é f'(g(x)) cdot g'(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função (x^3+5)^12, identificamos:
  • A função externa f(u) = u^12, cuja derivada é f'(u) = 12u^-12.
  • A função interna g(x) = x^3 + 5, cuja derivada é g'(x) = 3x^2.

Passo 5

Multiplicando as derivadas conforme a regra da cadeia, temos:
ddx[(x^3+5)^12] = 12(x^3+5)^-12 cdot 3x^2

Passo 6

Simplificando a expressão, fica:
ddx[raizx^3+5] = 3x^22raizx^3+5

Resposta

A derivada de raizx^3+5 é:
ddx[raizx^3+5] = 3x^22raizx^3+5
E a fórmula de integração correspondente é:
integral 3x^22raizx^3+5 , dx = raizx^3+5 + C
onde C é a constante de integração.

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